题目
已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在从该厂的产品中随机抽取64只，假定这些晶体管的寿命都是相互独立的，则这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率是()。A. 0.6554B. 0.7734C. 0.2266D. 0.3446
已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在从该厂的产品中随机抽取64只，假定这些晶体管的寿命都是相互独立的，则这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率是()。
A. 0.6554
B. 0.7734
C. 0.2266
D. 0.3446
题目解答
答案
C. 0.2266
解析
步骤 1：确定晶体管寿命的分布参数
晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布，因此其概率密度函数为f(t) = (1/100) * exp(-t/100)，其中t为晶体管的寿命。指数分布的均值为1/λ，因此λ = 1/100。
步骤 2：计算64只晶体管寿命总和的期望值和方差
由于晶体管的寿命是相互独立的，因此64只晶体管寿命总和的期望值为64 * 100 = 6400小时，方差为64 * (100^2) = 640000小时^2。
步骤 3：使用中心极限定理近似计算概率
由于晶体管的寿命是相互独立的，且数量足够大，因此可以使用中心极限定理近似计算64只晶体管寿命总和超过7000小时的概率。根据中心极限定理，64只晶体管寿命总和的分布近似为正态分布，均值为6400小时，方差为640000小时^2。因此，寿命总和超过7000小时的概率为P(X > 7000) = P(Z > (7000 - 6400) / sqrt(640000)) = P(Z > 0.75) = 1 - P(Z < 0.75) = 1 - 0.7734 = 0.2266。
晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布，因此其概率密度函数为f(t) = (1/100) * exp(-t/100)，其中t为晶体管的寿命。指数分布的均值为1/λ，因此λ = 1/100。
步骤 2：计算64只晶体管寿命总和的期望值和方差
由于晶体管的寿命是相互独立的，因此64只晶体管寿命总和的期望值为64 * 100 = 6400小时，方差为64 * (100^2) = 640000小时^2。
步骤 3：使用中心极限定理近似计算概率
由于晶体管的寿命是相互独立的，且数量足够大，因此可以使用中心极限定理近似计算64只晶体管寿命总和超过7000小时的概率。根据中心极限定理，64只晶体管寿命总和的分布近似为正态分布，均值为6400小时，方差为640000小时^2。因此，寿命总和超过7000小时的概率为P(X > 7000) = P(Z > (7000 - 6400) / sqrt(640000)) = P(Z > 0.75) = 1 - P(Z < 0.75) = 1 - 0.7734 = 0.2266。