题目
80判断题 设随机变量X服从 N(mu_(1),sigma_(1)^2)，Y服从 N(mu_(2),sigma_(2)^2)，且 P|X-mu_{1)|<1}>P|Y-mu_{2)|<1}，则必有 sigma_(1)<sigma_(2)。()bigcirc对bigcirc错
80判断题 设随机变量X服从 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，Y服从 $N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且 $P\{|X-\mu_{1}|<1\}>P\{|Y-\mu_{2}|<1\}$，则必有 $\sigma_{1}<\sigma_{2}$。()
$\bigcirc$对
$\bigcirc$错
题目解答
答案
设 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$。根据题意，有
\[
P\{|X - \mu_1| < 1\} > P\{|Y - \mu_2| < 1\}.
\]
将 $X$ 和 $Y$ 标准化，令 $Z_1 = \frac{X - \mu_1}{\sigma_1}$，$Z_2 = \frac{Y - \mu_2}{\sigma_2}$，则 $Z_1, Z_2 \sim N(0, 1)$。
原不等式可转化为：
\[
P\left\{\left|\frac{X - \mu_1}{\sigma_1}\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} > P\left\{\left|\frac{Y - \mu_2}{\sigma_2}\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\},
\]
即
\[
P\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\} > P\{|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}\}.
\]
由于 $P\{|Z| < k\} = 2\Phi(k) - 1$（$\Phi$ 为标准正态分布函数），上式等价于：
\[
2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1,
\]
即
\[
\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right).
\]
因为 $\Phi$ 是增函数，故 $\frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2}$，即 $\sigma_1 < \sigma_2$。
因此，结论正确。
答案：对。
解析
本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题的关键思路是先将给定的随机变量$X$和$Y$进行标准化，然后利用标准正态分布的概率计算公式，结合标准正态分布函数的单调性来来判断$\sigmasigma_1$和$\sigma__2$的大小关系。
- 标准化随机变量：
已知随机变量$X$服从$N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y$服从$N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$。根据正态分布的标准化方法，令$Z_1 = \frac{X - \mu_1}{\sigma_1}$，$Z_2 = \frac{Y - \mu_2}{\sigma_2}$，此时$Z_1$和$Z_2$都服从标准正态分布$N(0, 1)$。 - 转化概率不等式：
已知$P\{|X - \mu_1| < 1\} > P\{|Y - mu_2| < 1\}$，将$X$和$Y$的标准化形式代入不等式中，可得：
$P\left\{\left|\frac{X - \mu_1}{\sigma_1}\right| < \frac{1}{\sigma_1}\right\} > P\left\{\left|\frac{Y - \mu_2}{\sigma_2}\right| < \frac{1}{\sigma_2}\right\}$
即$P\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\} > P\{|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}\}$。 - 利用标准正态分布函数表示概率：
对于标准正态分布$Z$，有$P\{|Z| < k\} = 2\Phi(k) - 1$（其中$\Phi$为标准正态分布函数）。
那么$P\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1$，$P\{|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1$。
所以原不等式$P\{|Z_1| < \frac{1}{\sigma_1}\} > P\{|Z_2| < \frac{1}{\sigma_2}\}$可转化为$2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1$。 - 化简不等式并利用函数单调性判断$\sigma_1$和$\sigma_2$的大小关系：
对$2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) - 1 > 2\Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right) - 1$进行化简，两边同时加$1)再除以\(2$，可得$\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}\right) > \Phi\left(\frac{1}{\sigma_2}\right)$。
因为标准正态分布函数$\Phi$是单调递增函数，根据单调递增函数的性质，若$\Phi(a) > \Phi(b)$，则$a > b$。
所以由$\Phi\left(\frac{1}{\sigma_1}) > \Phi(\frac{1}{\sigma_2})$可得$\frac{1}{\sigma_1} > \frac{1}{\sigma_2}$。
由于$\sigma_1$和$\sigma_2$均为正态分布的标准差，大于$0$，不等式两边同时取倒数，不等号方向改变，即$\sigma_1 < \sigma_2$。