题目
七、(本题10分)设总体X~N(72,10²)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量n至少应该取多少?附Phi(z)=int_(-infty)^z(1)/(sqrt(2pi))e^(t^(2)/(2))dt，z & 1.28 & 1.29 Phi(z) & 0.8997 & 0.9015.
七、(本题10分)设总体X~N(72,10²)，为使样本均值大于70的概率不小于90%，则样本容量n至少应该取多少?
附$\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^{2}}{2}}dt$，$\begin{array}{c|c|c}z & 1.28 & 1.29 \\ \hline \Phi(z) & 0.8997 & 0.9015\end{array}$.
题目解答
答案
样本均值 $\overline{X}$ 服从 $ N\left(72, \frac{100}{n}\right) $。标准化后，有
\[ Z = \frac{\overline{X} - 72}{\frac{10}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1). \]
需满足
\[ P(\overline{X} > 70) = P\left(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}\right) = \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{5}\right) \geq 0.9. \]
查表得 $\Phi(1.29) \approx 0.9015$，故
\[ \frac{\sqrt{n}}{5} \geq 1.29 \implies \sqrt{n} \geq 6.45 \implies n \geq 41.6025. \]
取整数得 $ n \geq 42 $。
**答案：** $\boxed{42}$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(72, \frac{100}{n})$，其中 $72$ 是总体均值，$\frac{100}{n}$ 是样本均值的方差。
步骤 2：标准化样本均值
将样本均值标准化，得到标准正态分布 $Z$，即
\[ Z = \frac{\overline{X} - 72}{\frac{10}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1). \]
步骤 3：计算概率
根据题意，需要计算样本均值大于70的概率，即
\[ P(\overline{X} > 70) = P\left(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}\right) = \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{5}\right) \geq 0.9. \]
步骤 4：查表确定临界值
查标准正态分布表，找到 $\Phi(z) \geq 0.9$ 的最小 $z$ 值，即 $\Phi(1.29) \approx 0.9015$，因此
\[ \frac{\sqrt{n}}{5} \geq 1.29 \implies \sqrt{n} \geq 6.45 \implies n \geq 41.6025. \]
步骤 5：取整数
取整数得 $ n \geq 42 $。
样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(72, \frac{100}{n})$，其中 $72$ 是总体均值，$\frac{100}{n}$ 是样本均值的方差。
步骤 2：标准化样本均值
将样本均值标准化，得到标准正态分布 $Z$，即
\[ Z = \frac{\overline{X} - 72}{\frac{10}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1). \]
步骤 3：计算概率
根据题意，需要计算样本均值大于70的概率，即
\[ P(\overline{X} > 70) = P\left(Z > -\frac{\sqrt{n}}{5}\right) = \Phi\left(\frac{\sqrt{n}}{5}\right) \geq 0.9. \]
步骤 4：查表确定临界值
查标准正态分布表，找到 $\Phi(z) \geq 0.9$ 的最小 $z$ 值，即 $\Phi(1.29) \approx 0.9015$，因此
\[ \frac{\sqrt{n}}{5} \geq 1.29 \implies \sqrt{n} \geq 6.45 \implies n \geq 41.6025. \]
步骤 5：取整数
取整数得 $ n \geq 42 $。