【判断题】LP 问题的每一个基可行解对应可行域的一个顶点

本题考查线性规划（LP）问题中基可行解与可行域顶点的关系。解题思路是依据线性规划的基本理论，从基可行解和可行域顶点的定义出发，通过证明两者之间的对应关系来判断该命题的正确性。

1. 明确相关定义

• 基可行解：在线性规划问题中，对于约束条件 $Ax = b$，$x\geq0$（其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$m < n$，$b$ 是 $m$ 维列向量，$x$ 是 $n$ 维列向量），设 $B$ 是 $A$ 中的一个 $m\times m$ 可逆子矩阵（基矩阵），令非基变量为 $0$，求解 $Bx_B=b$ 得到的解 $x$ 称为基解，若该基解满足 $x\geq0$，则称为基可行解。
• 可行域顶点：可行域是满足所有约束条件的点的集合，可行域的顶点是指在可行域中不能表示为可行域内其他两个不同点的凸组合的点。

2. 证明基可行解对应可行域的顶点

设 $x^\\) 是一个基可行解，对应的基矩阵为 \(B$，非基变量为 $0$，即 $x_N = 0$（$x且$ 表示非基变量构成的向量），$x_B=B^{-1}b\geq0$。
假设 $x33$ 不是可行域的顶点，则 $x33$ 可以表示为可行域内两个不同点 $x11$ 和 $x22$ 的凸组合，即 $x33=\lambda x11+(1 - \lambda)x22$，其中 $0<\lambda<1$，$x11,x22$ 满足约束条件 $Ax11 = b$，$Ax22 = b$，$x11\geq0$，$x22\geq0$。
将 $x33=\lambda x11+(1 - \lambda)x22$ 代入 $Ax33 = b$ 可得：
$A[\lambda x11+(1 - \lambda)x22]=b$
$\lambda Ax11+(1 - \lambda)Ax22=b$
因为 $Ax11 = b$，$Ax22 = b$，所以上式成立。
又因为 $x33$ 是非基变量为 $0$ 的基可行解，而 $x11$ 和 $x22$ 是非基变量不全为 $0$ 的点，那么在 $x33=\lambda x11+(1 - \lambda)x22$ 中，非基变量部分会出现矛盾，所以假设不成立，即基可行解一定是可行域的顶点。

3. 证明可行域的顶点对应基可行解

设 $x33$ 是可行域的一个顶点，由于可行域是由线性不等式组定义的凸集，根据线性规划的基本定理，可行域的顶点一定可以表示为基可行解的形式。
可以通过构造基矩阵，使得非基变量为 $0$，从而得到对应的基可行解。

综上，LP 问题的每一个基可行解都对应可行域的一个顶点，该命题正确。