题目

已知随机变量xi_(1),xi_(2),xi_(3)的协方差cov(xi_(1),xi_(3))=2,cov(xi_(2),xi_(3))=1,则cov(xi_(1)+xi_(2),3xi_(3))=( )。("0":"9")

已知随机变量$\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3}$的协方差$cov(\xi_{1},\xi_{3})=2,cov(\xi_{2},\xi_{3})=1$,则$cov(\xi_{1}+\xi_{2},3\xi_{3})=( )$。 {"0":"9"}

题目解答

答案

利用协方差的性质，有： \[ \text{cov}(\xi_1 + \xi_2, 3\xi_3) = \text{cov}(\xi_1, 3\xi_3) + \text{cov}(\xi_2, 3\xi_3) \] 由常数倍数性质得： \[ \text{cov}(\xi_1, 3\xi_3) = 3 \text{cov}(\xi_1, \xi_3) = 3 \times 2 = 6 \] \[ \text{cov}(\xi_2, 3\xi_3) = 3 \text{cov}(\xi_2, \xi_3) = 3 \times 1 = 3 \] 相加得： \[ \text{cov}(\xi_1 + \xi_2, 3\xi_3) = 6 + 3 = 9 \] 答案：$\boxed{9}$

解析

本题考查协方差的的性质及应用。解题思路是先利用协方差的可加性将$cov(\xi_{1}+\xi_{2},3\xi_{3})$展开，再利用协方差的常数倍数性质分别计算展开后的两项，最后将两项结果相加得到最终答案。

  1. 利用协方差的可加性展开式子：
    根据协方差的性质，对于任意三个随机变量$A$、$B$、$C$，有$cov(A + B, C) = cov(A, C) + cov(B, C)$。
    在本题中，令$A = \xi_{1}$，$B = \xi_{2}$，$C = 3\xi_{3}$，则可得：
    $cov(\xi_{1}+\xi_{2},3\xi_{3}) = cov(\xi_{1}, 3\xi_{3}) + cov(\xi_{2}, 3\xi_{联) \协协方差的性质，对于任意三个随机变量\(A$、$B$、$C$，有$cov(A + B, C) = cov(A, C) + cov(B, C)$。
    在本题中，令$A = \xi_{1}$，$B = \xi_{2}$，$C = 3\xi_{3}$，则可得：
    $cov(\xi_{1}+\xi_{2}, 3\xi_{3}) = cov(\xi_{1}, 3\xi_{3}) + cov(\xi_{2}, 3\xi_{3})$
  2. 利用协方差的常数倍数性质计算展开式子：
    根据协方差的性质，对于任意随机变量$A$、$B$和常数$k$，有$cov(A, kB) = kcov(A, B)$。
    对于$cov(\xi_{1}, 3\xi_{3})$，令$A = \xi_{1}$，$B = \xi_{3}$，$k = 3$，则可得：
    $cov(\xi_{1}, 3\xi_{3}) = 3cov(\xi_{1, \xi_{3})$
    已知$cov(\xi_{1}, \xi_{3}) = 2$，代入上式可得：
    $cov(\xi_{1}, 3\xi_{3}) = 3\times2 = 6$
    对于$cov(\xi_{2}, 3\xi_{3})$，令$A = \xi_{2}$，$B = \xi_{3}$，$k = 3$，则可得：
    $cov(\xi_{2}, 3\xi_{3) = 3cov(\xi_{2}, \xi_{3})$
    已知$cov(\xi_{2}, \xi_{3}) = 1$，代入上式可得：
    $cov(\xi_{2}, 3\xi_{3}) = 3\times1 = 3$
  3. 计算最终结果：
    将$cov(\xi_{1}, 3\xi_{3}) = 6$和$cov(\xi_{2}, 3\xi_{3}) = 3$代入$cov(\xi_{1+\xi_{2}, 3\xi_{3}) = cov(\xi_{1}, 3\xi_{3}) + cov(\xi_{2, 3\xi_{3})$可得：
    $cov(\xi_{1}+\xi_{2}, 3\xi_{3}) = 6 + 3 = 9$