题目
11.设随机变量X服从N(3,4),求:-|||-(1) (2lt Xlt 5) , (-4lt Xlt 10) ,P(| |X|>2),-|||-(Xgt 3) ;-|||-(2)确定C使得 (Xgt C)=P(Xleqslant C) 。
题目解答
答案
本题主要考查正态分布的性质，属于基础题。根据正态分布的性质，代入公式计算即可。
(1) $P(2\lt X\lt 5)$=\phi (\frac{5-3}{\sqrt{4}})-\phi (\frac{2-3}{\sqrt{4}})$=\phi (1)-\phi (-\frac{1}{2})$=0.8413-0.3085=0.5328$ $P(-4\lt X\lt 10)$=\phi (\frac{10-3}{\sqrt{4}})-\phi (\frac{-4-3}{\sqrt{4}})$=\phi (4)-\phi (-2)$=0.9332-(1-0.9332)$=0.8664$ $P(|X|\gt 2)$=1-P(|X|\lt 2)$=1-P(-2\lt X\lt 2)$=1-[2\phi (\frac{2-3}{\sqrt{4}})-1]$=1-0.3085\times 2+1$$=1.3832$ $P(X\gt 3)$=1-P(X\leqslant 3)$=1-\phi (\frac{3-3}{\sqrt{4}})=1-\phi (0)=0.5$
(2) $P(X\leqslant C)=0.5$
所以 $\phi (\frac{C-3}{\sqrt{4}})=0.5$
所以 $\frac{C-3}{\sqrt{4}}=0$
所以 $C=3$
(1) $P(2\lt X\lt 5)$=\phi (\frac{5-3}{\sqrt{4}})-\phi (\frac{2-3}{\sqrt{4}})$=\phi (1)-\phi (-\frac{1}{2})$=0.8413-0.3085=0.5328$ $P(-4\lt X\lt 10)$=\phi (\frac{10-3}{\sqrt{4}})-\phi (\frac{-4-3}{\sqrt{4}})$=\phi (4)-\phi (-2)$=0.9332-(1-0.9332)$=0.8664$ $P(|X|\gt 2)$=1-P(|X|\lt 2)$=1-P(-2\lt X\lt 2)$=1-[2\phi (\frac{2-3}{\sqrt{4}})-1]$=1-0.3085\times 2+1$$=1.3832$ $P(X\gt 3)$=1-P(X\leqslant 3)$=1-\phi (\frac{3-3}{\sqrt{4}})=1-\phi (0)=0.5$
(2) $P(X\leqslant C)=0.5$
所以 $\phi (\frac{C-3}{\sqrt{4}})=0.5$
所以 $\frac{C-3}{\sqrt{4}}=0$
所以 $C=3$
解析
步骤 1：计算 $P(2\lt X\lt 5)$
根据正态分布的性质，$P(2\lt X\lt 5)$ 可以通过标准正态分布函数 $\phi$ 来计算。首先，将 $X$ 的值标准化，即计算 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中 $\mu=3$，$\sigma=2$。然后，利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 2：计算 $P(-4\lt X\lt 10)$
同样地，将 $X$ 的值标准化，然后利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 3：计算 $P(|X|\gt 2)$
$P(|X|\gt 2)$ 可以通过计算 $P(X\gt 2)$ 和 $P(X\lt -2)$ 的和来得到。首先，将 $X$ 的值标准化，然后利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 4：计算 $P(X\gt 3)$
$P(X\gt 3)$ 可以通过计算 $P(X\leqslant 3)$ 的补集来得到。首先，将 $X$ 的值标准化，然后利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 5：确定C使得 $P(X\gt C)=P(X\leqslant C)$
根据正态分布的对称性，$P(X\gt C)=P(X\leqslant C)$ 当且仅当 $C=\mu$。因此，$C=3$。
根据正态分布的性质，$P(2\lt X\lt 5)$ 可以通过标准正态分布函数 $\phi$ 来计算。首先，将 $X$ 的值标准化，即计算 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中 $\mu=3$，$\sigma=2$。然后，利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 2：计算 $P(-4\lt X\lt 10)$
同样地，将 $X$ 的值标准化，然后利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 3：计算 $P(|X|\gt 2)$
$P(|X|\gt 2)$ 可以通过计算 $P(X\gt 2)$ 和 $P(X\lt -2)$ 的和来得到。首先，将 $X$ 的值标准化，然后利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 4：计算 $P(X\gt 3)$
$P(X\gt 3)$ 可以通过计算 $P(X\leqslant 3)$ 的补集来得到。首先，将 $X$ 的值标准化，然后利用标准正态分布表或函数计算概率。
步骤 5：确定C使得 $P(X\gt C)=P(X\leqslant C)$
根据正态分布的对称性，$P(X\gt C)=P(X\leqslant C)$ 当且仅当 $C=\mu$。因此，$C=3$。