题目

18.计算二重积分 iint _(D) xydxdy，其中D是由直线y=x，y=5x及y=-x+6所围成的闭区域。

18.计算二重积分$ \iint _{D} $xydxdy，其中D是由直线y=x，y=5x及y=-x+6所围成的闭区域。

题目解答

答案

将区域 $ D $ 由直线 $ y = x $、$ y = 5x $ 和 $ y = -x + 6 $ 围成。首先，求交点： 1. $ y = x $ 与 $ y = -x + 6 $ 交于 $ (3, 3) $； 2. $ y = 5x $ 与 $ y = -x + 6 $ 交于 $ (1, 5) $； 3. $ y = x $ 与 $ y = 5x $ 交于 $ (0, 0) $。 将 $ D $ 分为两部分： - 当 $ 0 \leq x \leq 1 $ 时，$ y $ 从 $ x $ 到 $ 5x $； - 当 $ 1 \leq x \leq 3 $ 时，$ y $ 从 $ x $ 到 $ -x + 6 $。 计算二重积分： \[ \iint_D xy \, dx \, dy = \int_0^1 \int_x^{5x} xy \, dy \, dx + \int_1^3 \int_x^{-x+6} xy \, dy \, dx \] 先计算第一部分： \[ \int_0^1 x \left( \int_x^{5x} y \, dy \right) dx = \int_0^1 x \left[ \frac{y^2}{2} \bigg|_x^{5x} \right] dx = \int_0^1 x \left( \frac{(5x)^2}{2} - \frac{x^2}{2} \right) dx = \int_0^1 x \left( \frac{25x^2}{2} - \frac{x^2}{2} \right) dx = \int_0^1 12x^3 \, dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} \bigg|_0^1 = 3 \] 再计算第二部分： \[ \int_1^3 x \left( \int_x^{-x+6} y \, dy \right) dx = \int_1^3 x \left[ \frac{y^2}{2} \bigg|_x^{-x+6} \right] dx = \int_1^3 x \left( \frac{(-x+6)^2}{2} - \frac{x^2}{2} \right) dx \] \[ = \int_1^3 x \left( \frac{x^2 - 12x + 36}{2} - \frac{x^2}{2} \right) dx = \int_1^3 x \left( \frac{-12x + 36}{2} \right) dx = \int_1^3 (-6x^2 + 18x) \, dx \] \[ = \left[ -2x^3 + 9x^2 \right]_1^3 = (-54 + 81) - (-2 + 9) = 27 - 7 = 20 \] 将两部分相加： \[ 3 + 20 = 23 \] 因此，二重积分的值为 $ \boxed{23} $。

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $D$ 的边界，通过求直线交点将区域 $D$ 分割成便于计算的两部分，然后将二重积分化为累次积分进行计算。

  1. 确定积分区域 $D$ 的边界及交点：
    • 已知区域 $D$ 由直线 $y = x$，$y = 5x$ 及 $y=-x + 6$ 所围成。
    • 联立方程求交点：
      • 联立$\begin{cases}y = x\\y=-x + 6\end{cases}$，将 $y = x$ 代入 $y=-x + 6$ 得 $x=-x + 6$，移项可得 $2x=6$，解得 $x = 3$，则 $y = 3$，所以交点为$(3,3)$。
      • 联立$\begin{cases}y = 5x\\y=-x + 6\end{cases}$，将 $y = 5x$ 代入 $y=-x + 6$ 得 $5x=-x + 6$，移项可得 $6x=6$，解得 $x = 1$，则 $y = 5$，所以交点为$(1,5)$。
      • 联立$\begin{cases}y = x\\y = 5x\end{cases}$，可得 $x = 5x$，移项得 $4x=0$，解得 $x = 0$，则 $y = 0$，所以交点为$(0,0)$。
  2. 分割积分区域 $D$：
    • 当 $0\leq x\leq1$ 时，$y$ 的下限是 $y = x$，上限是 $y = 5x$。
    • 当 $1\leq x\leq3$ 时，$y$ 的下限是 $y = x$，上限是 $y=-x + 6$。
  3. 将二重积分化为累次积分并计算：
    • 根据上述分割，$\iint _{D}xydxdy=\int_{0}^{1}\int_{x}^{5x}xydydx+\int_{1}^{3}\int_{x}^{-x + 6}xydydx$。
    • 计算$\int_{0}^{1}\int_{x}^{5x}xydydx$：
      • 先对 $y$ 积分：$\int_{0}^{1}x\left(\int_{x}^{5x}ydy\right)dx=\int_{0}^{1}x\left[\frac{y^{2}}{2}\big|_{x}^{5x}\right]dx$。
      • 计算$\frac{y^{2}}{2}\big|_{x}^{5x}=\frac{(5x)^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}=\frac{25x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}=12x^{2}$。
      • 再对 $x$ 积分：$\int_{0}^{1}x\cdot12x^{2}dx = 12\int_{0}^{1}x^{3}dx$。
      • 根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得 $12\int_{0}^{1}x^{3}dx=12\times\frac{x^{4}}{4}\big|_{0}^{1}=3$。
    • 计算$\int_{1}^{3}\int_{x}^{-x + 6}xydydx$：
      • 先对 $y$ 积分：$\int_{1}^{3}x\left(\int_{x}^{-x + 6}ydy\right)dx=\int_{1}^{3}x\left[\frac{y^{2}}{2}\big|_{x}^{-x + 6}\right]dx$。
      • 计算$\frac{y^{2}}{2}\big|_{x}^{-x + 6}=\frac{(-x + 6)^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}-12x + 36}{2}-\frac{x^{2}}{2}=\frac{-12x + 36}{2}=-6x + 18$。
      • 再对 $x$ 积分：$\int_{1}^{3}x(-6x + 18)dx=\int_{1}^{3}(-6x^{2}+18x)dx$。
      • 根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$\int_{1}^{3}(-6x^{2}+18x)dx=\left[-2x^{3}+9x^{2}\right]_{1}^{3}$。
      • 计算$\left[-2x^{3}+9x^{2}\right]_{1}^{3}=(-2\times3^{3}+9\times3^{2})-(-2\times1^{3}+9\times1^{2})=(-54 + 81)-(-2 + 9)=27-7 = 20$。
  4. 将两部分积分结果相加：
    • $\iint _{D}xydxdy=3 + 20=23$。