题目
1.设总体X有方差 (x)=(sigma )^2, (X1,X2,···,Xn)为来自总体X的样本,令-|||-=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2-|||-则 E(T)=() .-|||-(A)σ^2 (B) dfrac ({sigma )^2}(n) (C) dfrac (n)(n-1)(sigma )^2 (D) dfrac (n-1)(n)(sigma )^2
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差 $S^2$ 定义为 $S^2 = \dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值。
步骤 2：计算期望
$E(T) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right)$
步骤 3：利用样本方差的期望
由于 $E(S^2) = \sigma^2$，我们有 $E\left(\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right) = \sigma^2$。
步骤 4：调整期望
$E(T) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right) = \dfrac {n-1}{n}E\left(\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right) = \dfrac {n-1}{n}\sigma^2$。
样本方差 $S^2$ 定义为 $S^2 = \dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$，其中 $\overline {X}$ 是样本均值。
步骤 2：计算期望
$E(T) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right)$
步骤 3：利用样本方差的期望
由于 $E(S^2) = \sigma^2$，我们有 $E\left(\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right) = \sigma^2$。
步骤 4：调整期望
$E(T) = E\left(\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right) = \dfrac {n-1}{n}E\left(\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\right) = \dfrac {n-1}{n}\sigma^2$。