题目
设随机变量X,Y相互独立,且X~U(0,6),Y~N(1,3)，求Z=3X-2Y的期望和方差
设随机变量X,Y相互独立,且X~U(0,6),Y~N(1,3)，求Z=3X-2Y的期望和方差
题目解答
答案
EX=3,EY=1
DX=E(X^2)-(EX)^2=∫[0→6](1/6)x^2dx-9=12-9=3
DY=3
EZ=E(3X-2Y)=3EX-2EY=7
DZ=D(3X-2Y)=D(3X)+D(-2Y)=9DX+4DY=39
DX=E(X^2)-(EX)^2=∫[0→6](1/6)x^2dx-9=12-9=3
DY=3
EZ=E(3X-2Y)=3EX-2EY=7
DZ=D(3X-2Y)=D(3X)+D(-2Y)=9DX+4DY=39
解析
步骤 1：计算X的期望值
由于X服从均匀分布U(0,6)，其期望值EX可以通过均匀分布的期望公式计算，即EX = (a + b) / 2，其中a和b是均匀分布的区间端点。对于X~U(0,6)，a=0，b=6，因此EX = (0 + 6) / 2 = 3。
步骤 2：计算X的方差
X的方差DX可以通过均匀分布的方差公式计算，即DX = (b - a)^2 / 12。对于X~U(0,6)，a=0，b=6，因此DX = (6 - 0)^2 / 12 = 36 / 12 = 3。
步骤 3：计算Y的期望值
由于Y服从正态分布N(1,3)，其期望值EY等于正态分布的均值，即EY = 1。
步骤 4：计算Y的方差
Y的方差DY等于正态分布的方差，即DY = 3。
步骤 5：计算Z的期望值
Z = 3X - 2Y，根据期望的线性性质，EZ = E(3X - 2Y) = 3EX - 2EY。将EX = 3和EY = 1代入，得到EZ = 3 * 3 - 2 * 1 = 9 - 2 = 7。
步骤 6：计算Z的方差
Z = 3X - 2Y，根据方差的性质，DZ = D(3X - 2Y) = D(3X) + D(-2Y) = 9DX + 4DY。将DX = 3和DY = 3代入，得到DZ = 9 * 3 + 4 * 3 = 27 + 12 = 39。
由于X服从均匀分布U(0,6)，其期望值EX可以通过均匀分布的期望公式计算，即EX = (a + b) / 2，其中a和b是均匀分布的区间端点。对于X~U(0,6)，a=0，b=6，因此EX = (0 + 6) / 2 = 3。
步骤 2：计算X的方差
X的方差DX可以通过均匀分布的方差公式计算，即DX = (b - a)^2 / 12。对于X~U(0,6)，a=0，b=6，因此DX = (6 - 0)^2 / 12 = 36 / 12 = 3。
步骤 3：计算Y的期望值
由于Y服从正态分布N(1,3)，其期望值EY等于正态分布的均值，即EY = 1。
步骤 4：计算Y的方差
Y的方差DY等于正态分布的方差，即DY = 3。
步骤 5：计算Z的期望值
Z = 3X - 2Y，根据期望的线性性质，EZ = E(3X - 2Y) = 3EX - 2EY。将EX = 3和EY = 1代入，得到EZ = 3 * 3 - 2 * 1 = 9 - 2 = 7。
步骤 6：计算Z的方差
Z = 3X - 2Y，根据方差的性质，DZ = D(3X - 2Y) = D(3X) + D(-2Y) = 9DX + 4DY。将DX = 3和DY = 3代入，得到DZ = 9 * 3 + 4 * 3 = 27 + 12 = 39。