8.设x1,x2,···,xn是来自密度函数为 (x;theta )=(e)^-(x-theta ),xgt theta 的总体的样本,-|||-(1)求θ的最大似然估计θ1,它是否是相合估计?是否是无偏估计?-|||-(2)求θ的矩估计θ 2,它是否是相合估计?是否是无偏估计?

本题主要考查最大似然估计和矩估计的求解，以及估计量的无偏性和相合性的判断。解题思路如下：

（1）求θ的最大似然估计θ₁，并判断其无偏性和相合性

• 求最大似然估计θ₁：
  • 首先，根据总体的密度函数$p(x;\theta ) = e^{-(x - \theta )}$，$x > \theta$，写出似然函数$L(\theta)$。对于样本$x_1,x_2,\cdots,x_n$，似然函数$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}p(x_i;\theta)$。
  • 因为$p(x_i;\theta)=e^{-(x_i - \theta )}$，$x_i > \theta$，所以$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}e^{-(x_i - \theta )}=e^{-\sum_{i = 1}^{n}x_i + n\theta}$，同时要满足$x_i > \theta$，$i = 1,2,\cdots,n$，即$\theta < \min\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$，记$x_{(1)}=\min\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$，则$L(\theta)=e^{-\sum_{i = 1}^{n}x_i + n\theta}I_{\theta < x_{(1)}}$，其中$I_{\theta < x_{(1)}}$是示性函数。
  • 由于$L(\theta)$在示性函数为$1$的条件下是$\theta$的严格增函数，所以要使$L(\theta)$最大，$\theta$应取到满足条件的最大值，即$\hat{\theta}_1 = x_{(1)}$。
• 判断无偏性：
  • 已知$x_{(1)}$的密度函数为$f(x)=ne^{-n(x - \theta )}$，$x > \theta$。
  • 根据期望的定义$E(\hat{\theta}_1)=\int_{\theta}^{\infty}x\cdot ne^{-n(x - \theta )}dx$，令$t = n(x - \theta)$，则$x=\frac{t}{n}+\theta$，$dx=\frac{1}{n}dt$。
  • 当$x = \theta$时，$t = 0$；当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。
  • 所以$E(\hat{\theta}_1)=\int_{0}^{\infty}(\frac{t}{n}+\theta)e^{-t}dt=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt+\theta\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt$。
  • 根据伽马函数$\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty}t^{n - 1}e^{-t}dt=(n - 1)!$，当$n = 2$时，$\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt = 1$，$\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt = 1$，则$E(\hat{\theta}_1)=\frac{1}{n}+\theta\neq\theta$，所以$\hat{\theta}_1$不是$\theta$的无偏估计。
  • 但$\lim_{n\to\infty}E(\hat{\theta}_1)=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+\theta)=\theta$，所以$\hat{\theta}_1$是$\theta$的渐近无偏估计。
• 判断相合性：
  • 先求$E(\hat{\theta}_1^2)$，$E(\hat{\theta}_1^2)=\int_{\theta}^{\infty}x^2\cdot ne^{-n(x - \theta )}dx$，令$t = n(x - \theta)$，则$x=\frac{t}{n}+\theta$，$dx=\frac{1}{n}dt$。
  • 当$x = \theta$时，$t = 0$；当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。
  • $E(\hat{\theta}_1^2)=\int_{0}^{\infty}(\frac{t}{n}+\theta)^2e^{-t}dt=\frac{1}{n^2}\int_{0}^{\infty}t^2e^{-t}dt+\frac{2\theta}{n}\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt+\theta^2\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt$。
  • 由伽马函数，当$n = 3$时，$\int_{0}^{\infty}t^2e^{-t}dt = 2$，$\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt = 1$，$\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt = 1$，则$E(\hat{\theta}_1^2)=\frac{2}{n^2}+\frac{2\theta}{n}+\theta^2$。
  • 根据方差公式$Var(\hat{\theta}_1)=E(\hat{\theta}_1^2)-[E(\hat{\theta}_1)]^2=\frac{2}{n^2}+\frac{2\theta}{n}+\theta^2 - (\frac{1}{n}+\theta)^2=\frac{1}{n^2}$。
  • 因为$\lim_{n\to\infty}Var(\hat{\theta}_1)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0$，所以$\hat{\theta}_1$是$\theta$的相合估计。

（2）求θ的矩估计θ₂，并判断其无偏性和相合性

• 求矩估计θ₂：
  • 先求总体的一阶矩$E(X)$，$E(X)=\int_{\theta}^{\infty}x\cdot e^{-(x - \theta )}dx$，令$t = x - \theta$，则$x = t + \theta$，$dx = dt$。
  • 当$x = \theta$时，$t = 0$；当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。
  • $E(X)=\int_{0}^{\infty}(t + \theta)e^{-t}dt=\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt+\theta\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt$，由伽马函数可得$E(X)=1 + \theta$，即$\theta = E(X) - 1$。
  • 用样本一阶矩$\overline{x}$代替总体一阶矩$E(X)$，得到$\theta$的矩估计$\hat{\theta}_2=\overline{x}-1$。
• 判断无偏性：
  • 求总体的二阶矩$E(X^2)$，$E(X^2)=\int_{\theta}^{\infty}x^2\cdot e^{-(x - \theta )}dx$，令$t = x - \theta$，则$x = t + \theta$，$dx = dt$。
  • 当$x = \theta$时，$t = 0$；当$x\to\infty$时，$t\to\infty$。
  • $E(X^2)=\int_{0}^{\infty}(t + \theta)^2e^{-t}dt=\int_{0}^{\infty}(t^2 + 2t\theta+\theta^2)e^{-t}dt=\int_{0}^{\infty}t^2e^{-t}dt+2\theta\int_{0}^{\infty}te^{-t}dt+\theta^2\int_{0}^{\infty}e^{-t}dt$。
  • 由伽马函数可得$E(X^2)=2 + 2\theta+\theta^2$。
  • 则$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=(2 + 2\theta+\theta^2)-(1 + \theta)^2 = 1$。
  • 因为$E(\hat{\theta}_2)=E(\overline{x}-1)=E(\overline{x})-1$，而$E(\overline{x})=E(X)=\theta$，所以$E(\hat{\theta}_2)=\theta$，即$\hat{\theta}_2$是$\theta$的无偏估计。
• 判断相合性：
  • 因为$Var(\overline{x})=\frac{Var(X)}{n}=\frac{1}{n}$，$\lim_{n\to\infty}Var(\overline{x})=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，所以$\overline{x}$是$E(X)$的相合估计。
  • 又因为$\hat{\theta}_2=\overline{x}-1$，根据相合估计的性质，若$\overline{x}$是$E(X)$的相合估计，则$\hat{\theta}_2$是$\theta$的相合估计。