11设(X1,X2,···,,nn )为来自总体 approx U(theta -0.5,theta +0.5) 的-|||-样本 (-infty lt theta lt 00).-|||-(1)求未知参数θ的极大似然估计;-|||-(2)证明UND和 dfrac (1)(2)((X)_((1))+(X)_((n))) 都是θ的无偏估计量,问-|||-哪一个较有效?

步骤 1：求未知参数 $\theta$ 的极大似然估计
- 似然函数为 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{1} I(\theta - 0.5 \leq X_i \leq \theta + 0.5)$，其中 $I$ 是指示函数。
- 为了使似然函数最大，需要 $\theta - 0.5 \leq X_{(1)}$ 和 $\theta + 0.5 \geq X_{(n)}$，即 $\theta \geq X_{(1)} + 0.5$ 和 $\theta \leq X_{(n)} - 0.5$。
- 因此，极大似然估计为 $\hat{\theta} = \dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$。

步骤 2：证明 $\bar{X}$ 和 $\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量
- 对于 $\bar{X}$，由于 $X_i \sim U(\theta - 0.5, \theta + 0.5)$，则 $E(X_i) = \theta$，因此 $E(\bar{X}) = \theta$，所以 $\bar{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。
- 对于 $\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$，由于 $X_{(1)}$ 和 $X_{(n)}$ 分别是样本的最小值和最大值，且 $E(X_{(1)}) = \theta - 0.5$，$E(X_{(n)}) = \theta + 0.5$，因此 $E(\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})) = \theta$，所以 $\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$ 也是 $\theta$ 的无偏估计量。

步骤 3：比较 $\bar{X}$ 和 $\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$ 的有效性
- 对于 $\bar{X}$，$Var(\bar{X}) = \dfrac{1}{n}Var(X_i) = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{12n}$。
- 对于 $\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$，$Var(\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})) = \dfrac{1}{4}(Var(X_{(1)}) + Var(X_{(n)})) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{24n}$。
- 因为 $\dfrac{1}{12n} > \dfrac{1}{24n}$，所以 $\bar{X}$ 比 $\dfrac{1}{2}(X_{(1)} + X_{(n)})$ 更有效。