题目

利用正交变换法化实二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3+2x1x3为标准型，并求出相应的正交变换．

利用正交变换法化实二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3+2x1x3为标准型，并求出相应的正交变换．

题目解答

答案

据题可知二次型矩阵为A=
111
111
111
．
由
.
λE-A
.
=0得A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=3
解方程组(0E-A)X=0，
得其基础解系为
X1
=(1，-1，0)T，
X2
=(1，0，-1)T
标准正交化为
X1
=(
1
2
，-
1
2
，0)T，
X2
=(
1
2
，0，-
1
2
)T
解方程组(3E-A)X=0，
得其基础解系为
X3
=(1，1，1)T
单位化为
X3
=(
1
3
，
1
3
，
1
3
)T
令Q=(
X1
X2
X3
)，X=QY，
得f(y1y2y3)=3y32．