1. (15.0分) 对某地区居民家庭月平均生活费用进行抽样调查，样本容量为400户，其中有80户为贫困户，样本平均数为1250元，标准差为140元。以95%的置信度推断， 1)该地区居民家庭月平均生活费用的置信区间(保留2位小数)。 2)若贫困率定义为贫困户占总户数的比重，试给出贫困率的置信区间(保留2位小数)。 3)要使月平均生活费用的最大容许误差不超过10元，则至少应抽多少户做样本。 z_(0.05)=1.64,z_(0.025)=1.96,t_(0.05)(399)=1.65,t_(0.025)(399)=1.97
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们将分步骤进行。
第1部分：月平均生活费用的置信区间
已知：
- 样本容量 $n = 400$
- 样本平均数 $\bar{x} = 1250$ 元
- 样本标准差 $s = 140$ 元
- 置信度为95%，因此 $\alpha = 0.05$
- 由于样本量大，可以使用z分布。对于95%的置信度， $z_{0.025} = 1.96$
月平均生活费用的置信区间公式为：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$
代入数值：
$1250 \pm 1.96 \frac{140}{\sqrt{400}}$
$1250 \pm 1.96 \frac{140}{20}$
$1250 \pm 1.96 \times 7$
$1250 \pm 13.72$
因此，月平均生活费用的置信区间为：
$(1236.28, 1263.72)$
第2部分：贫困率的置信区间
已知：
- 样本中贫困户数 $x = 80$
- 样本容量 $n = 400$
- 样本贫困率 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{80}{400} = 0.2$
- 置信度为95%，因此 $\alpha = 0.05$
- 由于样本量大，可以使用z分布。对于95%的置信度， $z_{0.025} = 1.96$
贫困率的置信区间公式为：
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
代入数值：
$0.2 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}}$
$0.2 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{400}}$
$0.2 \pm 1.96 \sqrt{0.0004}$
$0.2 \pm 1.96 \times 0.02$
$0.2 \pm 0.0392$
因此，贫困率的置信区间为：
$(0.1608, 0.2392)$
以百分比表示，为：
$(16.08\%, 23.92\%)$
第3部分：确定样本量以使最大容许误差不超过10元
已知：
- 最大容许误差 $E = 10$ 元
- 样本标准差 $s = 140$ 元
- 置信度为95%，因此 $\alpha = 0.05$
- 由于样本量大，可以使用z分布。对于95%的置信度， $z_{0.025} = 1.96$
确定样本量 $n$ 的公式为：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} s}{E} \right)^2$
代入数值：
$n = \left( \frac{1.96 \times 140}{10} \right)^2$
$n = \left( \frac{274.4}{10} \right)^2$
$n = 27.44^2$
$n = 752.9536$
由于样本量必须是整数，我们向上取整到下一个整数。因此，至少应抽的样本量为：
$n = 753$
最终答案
- 月平均生活费用的置信区间为 $\boxed{(1236.28, 1263.72)}$。
- 贫困率的置信区间为 $\boxed{(16.08\%, 23.92\%)}$。
- 至少应抽的样本量为 $\boxed{753}$。
解析
本题主要考查了总体均值和总体比例的置信区间估计以及样本量的计算。解题思路如下：
- 计算该地区居民家庭月平均生活费用的置信区间：
- 已知样本容量$n = 400$，样本平均数$\bar{x} = 1250$元，样本标准差$s = 140$元，置信度为$95\%$，则$\alpha = 1 - 95\% = 0.05$。
- 因为样本量大（$n = 400$），可以使用$z$分布，对于$95\%$的置信度，$z_{\alpha/2}=z_{0.025} = 1.96$。
- 根据总体均值的置信区间公式$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$，代入数值进行计算：
$\begin{align*}&1250 \pm 1.96 \frac{140}{\sqrt{400}}\\=&1250 \pm 1.96 \frac{140}{20}\\=&1250 \pm 1.96 \times 7\\=&1250 \pm 13.72\end{align*}$ - 所以月平均生活费用的置信区间为$(1250 - 13.72, 1250 + 13.72)=(1236.28, 1263.72)$。
- 计算贫困率的置信区间：
- 已知样本中贫困户数$x = 80$，样本容量$n = 400$，则样本贫困率$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{80}{400} = 0.2$。
- 置信度为$95\%$，$\alpha = 0.05$，使用$z$分布，$z_{\alpha/2}=z_{0.025} = 1.96$。
- 根据总体比例的置信区间公式$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$，代入数值进行计算：
$\begin{align*}&0.2 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times (1 - 0.2)}{400}}\\=&0.2 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.2 \times 0.8}{400}}\\=&0.2 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{400}}\\=&0.2 \pm 1.96 \times 0.02\\=&0.2 \pm 0.0392\end{align*}$ - 所以贫困率的置信区间为$(0.2 - 0.0392, 0.2 + 0.0392)=(0.1608, 0.2392)$，以百分比表示为$(16.08\%, 23.92\%)$。
- 计算要使月平均生活费用的最大容许误差不超过$10$元时至少应抽的样本量：
- 已知最大容许误差$E = 10$元，样本标准差$s = 140$元，置信度为$95\%$，$\alpha = 0.05$，使用$z$分布，$z_{\alpha/2}=z_{0.025} = 1.96$。
- 根据样本量计算公式$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} s}{E} \right)^2$，代入数值进行计算：
$\begin{align*}n&=\left( \frac{1.96 \times 140}{10} \right)^2\\&=\left( \frac{274.4}{10} \right)^2\\&= 27.44^2\\&= 752.9536\end{align*}$ - 由于样本量必须是整数，所以向上取整，至少应抽的样本量为$n = 753$。