48、若随机变量的分布列为P(X=k)=c((2)/(3))^k,(k=1,2,dots)，则c=_. (写成小数形式)

为了确定常数 $ c $ 的值，我们需要利用所有概率的和等于1的事实。随机变量 $ X $ 的概率分布由下式给出： \[ P(X = k) = c \left( \frac{2}{3} \right)^k \quad \text{对于} \quad k = 1, 2, 3, \ldots \] 所有概率的和可以表示为： \[ \sum_{k=1}^{\infty} P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} c \left( \frac{2}{3} \right)^k \] 这个级数是一个几何级数，首项 $ a = c \left( \frac{2}{3} \right) $，公比 $ r = \frac{2}{3} $。无限几何级数 $ \sum_{k=0}^{\infty} ar^k $ 的和由 $ \frac{a}{1-r} $ 给出，但我们的级数从 $ k=1 $ 开始，所以我们需要调整公式： \[ \sum_{k=1}^{\infty} c \left( \frac{2}{3} \right)^k = c \left( \frac{2}{3} \right) \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k = c \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = c \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} = c \left( \frac{2}{3} \right) \cdot 3 = 2c \] 由于所有概率的和必须等于1，我们有： \[ 2c = 1 \] 解 $ c $，我们得到： \[ c = \frac{1}{2} = 0.5 \] 因此，$ c $ 的值是： \[ \boxed{0.5} \]