【题目]-|||-设X1,X2,...,Xn是正态总体N(μ,σ^2 )的样本,-|||-X和S^2分别为样本均值和样本方差,则服从自由-|||-度为 n-1 的t分布的随机变量是() ()-|||-A、 sqrt (nXS)-|||-B、 sqrt (n) X(S)^2-|||-C、 XS-|||-D、 X(S)^2

本题考查正态总体下样本均值、样本方差的性质以及$t$分布的定义。解题的关键在于明确正态总体样本均值和样本方差的分布，再根据$t$分布的定义来判断哪个随机变量服从自由度为$n - 1$的$t$分布。

步骤一：明确样本均值和样本方差的分布

已知$X_1,X_2,\cdots,X_n$是正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本，根据正态分布的性质可知：

• 样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，对其进行标准化变换，令$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，则$Z\sim N(0,1)$。
• 样本方差$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，且$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$。

步骤二：根据$t$分布的定义进行判断

$t$分布的定义为：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
在本题中，$Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$，$Y=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S^2$相互独立，所以$Z$与$Y$也相互独立。
将$Z$和$Y$代入$t$分布的定义式中可得：
$\begin{align*}T&=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}}{n - 1}}}\\&=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{S^2}{\sigma^2}}}\\&=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\\&=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\end{align*}$
当$\mu = 0$时，$T=\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S}$，而题目中没有$\mu = 0$这个条件，我们可以从选项的形式来分析。
我们知道$t$分布的分子是关于样本均值的线性变换，分母是样本标准差，且自由度为$n - 1$。
选项C：$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}}$，它符合$t$分布的形式，即分子是样本均值经过标准化的形式，分母是样本标准差经过适当变换的形式，所以$\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}}$服从自由度为$n - 1$的$t$分布。