三*、用“ε-N”定义证明：lim_(ntoinfty)(3n+1)/(2n+1)=(3)/(2).
题目解答
答案
根据极限定义，对任意 $\epsilon > 0$，需找到 $N$，使 $n > N$ 时，$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| < \epsilon$。
化简得：
$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| = \frac{1}{2(2n+1)}.$
令 $\frac{1}{2(2n+1)} < \epsilon$，解得 $n > \frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2}$。
取 $N = \left\lceil \frac{1}{4\epsilon} \right\rceil$（或 $N = \left\lceil \frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2} \right\rceil$），则当 $n > N$ 时，不等式成立。
结论：
$\boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查利用ε-N定义证明数列极限的能力，需要掌握代数变形和不等式处理的技巧。
解题核心思路：
- 构造目标表达式：将数列与极限值的差写成绝对值形式，通过通分化简。
- 建立不等式：令化简后的表达式小于任意给定的ε，解关于n的不等式。
- 确定N的取值：根据解出的n范围，选取合适的自然数N，确保当n > N时不等式成立。
破题关键点：
- 正确化简绝对值表达式，消除分子中的n项，得到与n相关的倒数形式。
- 灵活处理不等式，通过代数变形将n的范围表示为关于ε的函数。
- 合理选择N，确保N为自然数且满足条件。
步骤1：构造目标表达式
计算数列与极限值的差：
$\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)} \right| = \left| \frac{-1}{2(2n+1)} \right| = \frac{1}{2(2n+1)}.$
步骤2：建立不等式
令上述表达式小于ε：
$\frac{1}{2(2n+1)} < \epsilon.$
步骤3：解不等式求n范围
变形得：
$2(2n+1) > \frac{1}{\epsilon} \implies 2n+1 > \frac{1}{2\epsilon} \implies n > \frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2}.$
步骤4：确定N的取值
取自然数N为满足条件的最小整数，例如：
$N = \left\lceil \frac{1}{4\epsilon} \right\rceil \quad \text{或} \quad N = \left\lceil \frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2} \right\rceil.$
结论：当n > N时，原不等式成立，故极限为$\frac{3}{2}$。