设 X_1, X_2 是从正态总体 N(mu,1) 中抽取的一个容量为 2 的样本，下面 4 个关于 mu 的无偏估计量中最有效的一个是（ ）.A) (1)/(2)X_1 + (1)/(2)X_2B) (1)/(3)X_1 + (2)/(3)X_2C) (1)/(4)X_1 + (3)/(4)X_2D) (1)/(6)X_1 + (5)/(6)X_2

我们来逐步分析这道题。

题目要求：

从正态总体 $ N(\mu, 1) $ 中抽取容量为 2 的样本 $ X_1, X_2 $，给出四个关于 $ \mu $ 的无偏估计量，要求找出最有效的一个。

基本概念回顾：

1. 无偏估计量：估计量的期望等于被估计的参数。

   • 即 $ E(\hat{\mu}) = \mu $，则 $ \hat{\mu} $ 是 $ \mu $ 的无偏估计。

2. 有效性（Efficiency）：在无偏估计量中，方差越小，估计量越有效。

   • 所以我们要比较各个估计量的方差，方差最小的那个最有效。

3. 独立性：由于 $ X_1, X_2 $ 是从总体中抽取的样本，因此它们是独立同分布的，且 $ X_i \sim N(\mu, 1) $，即方差为 1。

设估计量形式为：

$\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$
我们先看无偏性，再看有效性。

第一步：验证无偏性

计算期望：
$E(\hat{\mu}) = aE(X_1) + bE(X_2) = a\mu + b\mu = (a + b)\mu$
要使估计量无偏，需满足：
$a + b = 1$

我们来检查每个选项是否满足这个条件：

• A) $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $ ✅
• B) $ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 $ ✅
• C) $ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 $ ✅
• D) $ \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1 $ ✅

四个选项都是无偏估计量。

第二步：比较有效性（即比较方差）

由于 $ X_1 $ 与 $ X_2 $ 独立，且 $ \text{Var}(X_1) = \text{Var}(X_2) = 1 $，所以：

$\text{Var}(\hat{\mu}) = a^2 \text{Var}(X_1) + b^2 \text{Var}(X_2) = a^2 + b^2$

我们分别计算每个选项的方差：

A) $ \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2 $

$\text{Var} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

B) $ \frac{1}{3}X_1 + \frac{2}{3}X_2 $

$\text{Var} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0.5556$

C) $ \frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2 $

$\text{Var} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0.625$

D) $ \frac{1}{6}X_1 + \frac{5}{6}X_2 $

$\text{Var} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} + \frac{25}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18} \approx 0.7222$

第三步：比较方差大小

我们列出各方差：

• A: 0.5
• B: ≈0.5556
• C: 0.625
• D: ≈0.7222

方差最小的是 A，为 0.5

结论：

在所有无偏估计量中，方差最小的最有效，所以最有效的估计量是：

$\boxed{\text{A) } \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2}$

附加说明：

这个估计量其实就是样本均值：
$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2}$
在正态总体中，样本均值是 $ \mu $ 的最小方差无偏估计量（UMVUE），因此它是最有效的。

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{A}}$