题目

5、设A为5级方阵，且|A|=2，则|-2A|=_____.

5、设A为5级方阵，且$|A|=2$，则$|-2A|=$_____.

题目解答

答案

要解决这个问题，我们需要使用行列式的性质。行列式的一个重要性质是，如果将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个常数，那么行列式也会乘以这个常数。对于一个 $ n $ 阶方阵 $ A $，如果我们将整个矩阵乘以一个常数 $ k $，那么行列式 $ |kA| $ 等于 $ k^n |A| $。这是因为矩阵的每一行都被乘以了 $ k $，而矩阵有 $ n $ 行，所以行列式被乘以了 $ k^n $。 在这个问题中，矩阵 $ A $ 是一个 5 阶方阵，且 $ |A| = 2 $。我们需要求 $ |-2A| $。根据行列式的性质，我们有： \[ |-2A| = (-2)^5 |A| \] 首先，我们计算 $ (-2)^5 $： \[ (-2)^5 = -32 \] 然后，我们将这个结果乘以 $ |A| $： \[ |-2A| = -32 \times 2 = -64 \] 因此，答案是： \[ \boxed{-64} \]

解析

本题主要考察行列式的性质，具体为：对于$n$阶方阵$A$，若将整个矩阵乘以常数$k$，则行列式$|kA|=k^n|A|$。

解题步骤：

  1. 确定矩阵阶数和已知条件：题目中$A$为5级方阵（即$n=5$），且$|A|=2$。
  2. 应用行列式性质：根据$|kA|=k^n|A|$，这里$k=-2$，$n=5$，则：
    $|-2A|=(-2)^5|A|$
  3. 计算幂次和乘积：
    $(-2)^5=-32$，代入得：
    $|-2A|=-32\times2=-64$