题目
3 总体X服从参数为p的几何分布，其分布律PX=x=p(1-p)^x-1 (0<1;x=1,2,...),x_(1),x_(2),...,x_(n)为总体的一组样本观测值，求参数p的矩估计与极大似然估计.
3 总体X服从参数为p的几何分布，其分布律
$P\{X=x\}=p(1-p)^{x-1} (0
<1;x=1,2,\cdots),$ $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为总体的一组样本观测值，求参数p的矩估计与极大似然估计.
题目解答
答案
**矩估计：**
1. 计算期望：$ E(X) = \frac{1}{p} $。
2. 令样本均值等于期望：$ \overline{x} = \frac{1}{p} $。
3. 解得：$ \hat{p} = \frac{1}{\overline{x}} $。
**极大似然估计：**
1. 写似然函数：$ L(p) = p^n (1-p)^{\sum x_i - n} $。
2. 取对数：$ \ln L(p) = n \ln p + (\sum x_i - n) \ln (1-p) $。
3. 求导并令为零：解得 $ \hat{p} = \frac{n}{\sum x_i} = \frac{1}{\overline{x}} $。
**答案：**
\[
\boxed{\frac{1}{\overline{x}}}
\]