1. int (cos x+(cos )^3x)dx

本题考查不定积分的计算，解题思路是先利用积分的加法法则将被积函数拆分成两个积分的和，再分别对这两个积分进行计算。对于$\int \cos xdx$，可直接根据基本积分公式得出结果；对于$\int \cos^{3}xdx$，需要先对被积函数进行变形，然后通过换元法来求解。

1. 利用积分的加法法则拆分积分：
   根据积分的加法法则$\int [f(x)+g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$，对于$\int (\cos x + \cos^{3}x)dx$，可得：
   $\int (\cos x + \cos^{3}x)dx = \int \cos xdx + \int \cos^{3}xdx$
2. 计算$\int \cos xdx$：
   根据基本积分公式$\int \cos xdx = \sin x + C_1$（$C_1$为常数），所以$\int \cos xdx = \sin x$。
3. 计算$\int \cos^{3}xdx$：
   • 对$\cos^{3}x$进行变形：$\cos^{3}x = \cos^{2}x \cdot \cos x$，根据三角函数的平方关系$\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$，则$\cos^{3}x = (1 - \sin^{2}x)\cos x$，所以$\int \cos^{3}xdx = \int (1 - \sin^{2}x)\cos xdx$。
   • 令$t = \sin x$，对$t$求导得$dt = \cos xdx$，则$\int (1 - \sin^{2}x)\cos xdx = \int (1 - t^{2})dt$。
   • 根据积分的加法法则$\int (1 - t^{2})dt = \int 1dt - \int t^{2}dt$。
   • 分别计算这两个积分：
     • 根据基本积分公式$\int 1dt = t + C_2$（$C_2$为常数）。
     • 根据基本积分公式$\int t^{n}dt = \frac{1}{n + 1}t^{n + 1} + C_3$（$n\neq -1$，$C_3$为常数），对于$\int t^{2}dt$，$n = 2$，则$\int t^{2}dt = \frac{1}{2 + 1}t^{2 + 1} + C_3 = \frac{1}{3}t^{3} + C_3$。
   • 所以$\int (1 - t^{2})dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_4$（$C_4 = C_2 - C_3$为常数）。
   • 再将$t = \sin x$代回，得到$\int \cos^{3}xdx = \sin x - \frac{1}{3}\sin^{3}x + C_4$。
4. 将两个积分的结果相加：
   $\int (\cos x + \cos^{3}x)dx = \int \cos xdx + \int \cos^{3}xdx = \sin x + \sin x - \frac{1}{3}\sin^{3}x + C$（$C = C_1 + C_4$为常数），即$\int (\cos x + \cos^{3}x)dx = 2\sin x - \frac{1}{3}\sin^{3}x + C$。