32.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2),其分布函数为F(x),记随机变量 =F(X),-|||-则概率 (Yleqslant 0.5) 的值 ()-|||-(A)与参数μ和σ均有关 (B)与参数μ有关,与σ无关-|||-(C)与参数μ无关,与σ有关 (D)与参数μ和σ均无关

考查要点：本题主要考查正态分布的分布函数性质及随机变量函数的分布理解。关键在于理解分布函数的单调性以及标准化变换的应用。

解题核心思路：

1. 分布函数的性质：正态分布的分布函数$F(x)$是单调递增函数，且$F(\mu) = 0.5$。
2. 随机变量变换：定义$Y = F(X)$，其本质是将$X$的取值通过分布函数映射到$[0,1]$区间。
3. 概率转化：$P(Y \leq 0.5)$等价于求$F(X) \leq 0.5$的概率，进一步转化为$X \leq \mu$的概率。
4. 正态分布的对称性：无论$\mu$和$\sigma$如何变化，$P(X \leq \mu) = 0.5$恒成立。

破题关键点：

• 抓住$F(\mu) = 0.5$的性质，将概率问题转化为关于$\mu$的判断。
• 明确标准化后概率的不变性，即$P(X \leq \mu)$与$\sigma$无关。

步骤1：理解$Y = F(X)$的含义

• $Y$是将$X$代入自身分布函数的结果，即$Y$的取值范围为$[0,1]$。
• $F(x)$是正态分布的累积分布函数，满足$F(\mu) = 0.5$。

步骤2：转化概率表达式
要求$P(Y \leq 0.5)$，即求$F(X) \leq 0.5$的概率。
由于$F(x)$单调递增，且$F(\mu) = 0.5$，因此：
$F(X) \leq 0.5 \quad \Leftrightarrow \quad X \leq \mu.$

步骤3：计算概率$P(X \leq \mu)$
根据正态分布的对称性，均值$\mu$对应分布的中位数，因此：
$P(X \leq \mu) = 0.5.$
此概率与$\mu$和$\sigma$均无关，恒等于$0.5$。