已知当 x arrow 0 时, f(x) 是无穷大量, 下列变量当 x arrow 0 时一定是无穷小量的是 ( )A、x cdot f(x)B、x + f(x)C、(x)/(f(x))D、f(x) - (1)/(x)

我们来逐步分析这个题目。

题目给出：当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) $ 是无穷大量，也就是说：

$\lim_{x \to 0} f(x) = \infty \quad \text{（或 } -\infty \text{，但主要是绝对值趋于无穷）}$

我们要找出在四个选项中，哪一个一定是无穷小量（即极限为 0）当 $ x \to 0 $ 时。

选项 A：$ x \cdot f(x) $

我们分析极限：$ \lim_{x \to 0} x \cdot f(x) $

• $ x \to 0 $，是无穷小；
• $ f(x) \to \infty $，是无穷大；
• 无穷小 × 无穷大，是未定式，结果不确定。

举个例子：

• 若 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ x \cdot f(x) = x \cdot \frac{1}{x} = 1 $，极限是 1，不是无穷小。
• 若 $ f(x) = \frac{1}{x^2} $，则 $ x \cdot f(x) = x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty $
• 若 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|}} $，则 $ x \cdot f(x) \to 0 $

所以结果可能是无穷大、常数、或无穷小，不一定是无穷小。

✅ A 不一定，排除。

选项 B：$ x + f(x) $

• $ x \to 0 $
• $ f(x) \to \infty $
• 所以 $ x + f(x) \to \infty $

极限是无穷大，不是无穷小。

✅ B 是无穷大量，不是无穷小，排除。

选项 C：$ \frac{x}{f(x)} $

分析：$ x \to 0 $（无穷小），$ f(x) \to \infty $（无穷大）

所以这是：无穷小 / 无穷大 的形式。

直观上，分子趋于 0，分母趋于 ∞，整个分式趋于 0。

我们来严格分析：

由于 $ f(x) \to \infty $，所以 $ \frac{1}{f(x)} \to 0 $，即 $ \frac{1}{f(x)} $ 是无穷小。

而 $ x $ 也是无穷小。

所以 $ \frac{x}{f(x)} = x \cdot \frac{1}{f(x)} $ 是两个无穷小的乘积，仍然是无穷小。

更严谨地说：

因为 $ f(x) \to \infty $，所以对于任意 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $，当 $ 0 < |x| < \delta $，有 $ |f(x)| > 1 $，于是 $ \left| \frac{1}{f(x)} \right| < 1 $

又因为 $ x \to 0 $，所以 $ \left| \frac{x}{f(x)} \right| \leq |x| \cdot 1 = |x| \to 0 $

由夹逼定理，$ \frac{x}{f(x)} \to 0 $

✅ 所以 C 一定是无穷小量。

选项 D：$ f(x) - \frac{1}{x} $

• $ f(x) \to \infty $
• $ \frac{1}{x} \to \infty $（当 $ x \to 0 $ 时，符号取决于左右极限，但绝对值趋于 ∞）

所以这是 $ \infty - \infty $ 型，未定式，结果不确定。

举例说明：

• 若 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f(x) - \frac{1}{x} = 0 $，极限是 0，是无穷小。
• 若 $ f(x) = \frac{2}{x} $，则结果是 $ \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \to \infty $，不是无穷小。
• 若 $ f(x) = \frac{1}{x^2} $，则 $ f(x) - \frac{1}{x} \to \infty $

所以结果可能不是无穷小。

✅ D 不一定是无穷小，排除。

结论：

只有选项 C 在任何满足条件的 $ f(x) $ 下，当 $ x \to 0 $ 时，一定是无穷小量。

答案：
$\boxed{\text{C}}$