4、设总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是X的样本，overline(X)，S^2是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（）A. (sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2)/(sigma^2)simchi^2(n-1)B. (overline(X)-mu)/(sigma)sim N(0,1)C. (overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))sim t(n-1)D. (sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2)/(sigma^2)simchi^2(n)

本题考查正态总体下样本均值、样本方差的分布以及$\chi^{2}$分布、$t$分布的定义。解题思路是根据正态总体的性质以及各分布的定义，逐一分析每个选项。

选项A

已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是$X$的样本，样本方差$S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$。
根据$\chi^{2}$分布的定义：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
对于正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，有$\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，且$\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^{2}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}$。
又因为$\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}=\sum_{i = 1}^{n}[(X_{i}-\overline{X})+(\overline{X}-\mu)]^{2}=\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}+n(\overline{X}-\mu)^{2}$。
而$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，所以$\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，选项A正确。

选项B

因为总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，根据正态分布的性质：若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且都服从$N(\mu,\sigma^{2})$，则$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。
那么$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，而不是$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，选项B错误。

选项C

由前面分析可知$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，$\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S^{2}$相互独立。
根据$t$分布的定义：若$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}\sim t(n)$。
令$U = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，$V=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}$，则$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}{\sigma^{2}}}{n - 1}}}\sim t(n - 1)$，选项C正确。

选项D

因为$X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，所以$\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
根据$\chi^{2}$分布的定义，$\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_{i}-\mu}{\sigma})^{2}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n)$，选项D正确。