题目
[题目]设事件A在一次随机试验中发生的概率为-|||-0.5,利用切比雪夫不等式,估计在1000次独立试-|||-验中事件A发生的次数在450至550之间的概率-|||-()-|||-A. .9-|||-B. .1-|||-C. lt 0.9-|||-D. lt 0.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设事件A在1000次独立试验中发生的次数为随机变量m。
步骤 2：计算期望和方差
由于每次试验中事件A发生的概率为0.5，因此m服从二项分布B(1000, 0.5)。
期望E(m) = np = 1000 * 0.5 = 500。
方差D(m) = np(1-p) = 1000 * 0.5 * 0.5 = 250。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量X，其取值与期望值的偏差不超过k倍标准差的概率至少为1 - 1/k^2。
在本题中，我们要求事件A发生的次数在450至550之间，即| m - E(m) | ≤ 50。
标准差σ = √D(m) = √250。
因此，k = 50 / σ = 50 / √250 = √2。
根据切比雪夫不等式，P(| m - E(m) | ≤ 50) ≥ 1 - 1/k^2 = 1 - 1/2 = 0.5。
然而，切比雪夫不等式给出的是下界，因此实际概率可能大于0.5，但不能确定具体值。
步骤 4：选择正确答案
根据切比雪夫不等式，我们只能确定概率大于0.5，但不能确定具体值。因此，正确答案是D. $\lt 0.1$，因为其他选项都给出了具体的概率值，而切比雪夫不等式只能给出概率的下界。
设事件A在1000次独立试验中发生的次数为随机变量m。
步骤 2：计算期望和方差
由于每次试验中事件A发生的概率为0.5，因此m服从二项分布B(1000, 0.5)。
期望E(m) = np = 1000 * 0.5 = 500。
方差D(m) = np(1-p) = 1000 * 0.5 * 0.5 = 250。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式表明，对于任意随机变量X，其取值与期望值的偏差不超过k倍标准差的概率至少为1 - 1/k^2。
在本题中，我们要求事件A发生的次数在450至550之间，即| m - E(m) | ≤ 50。
标准差σ = √D(m) = √250。
因此，k = 50 / σ = 50 / √250 = √2。
根据切比雪夫不等式，P(| m - E(m) | ≤ 50) ≥ 1 - 1/k^2 = 1 - 1/2 = 0.5。
然而，切比雪夫不等式给出的是下界，因此实际概率可能大于0.5，但不能确定具体值。
步骤 4：选择正确答案
根据切比雪夫不等式，我们只能确定概率大于0.5，但不能确定具体值。因此，正确答案是D. $\lt 0.1$，因为其他选项都给出了具体的概率值，而切比雪夫不等式只能给出概率的下界。