题目
已知 sim N(1,(2)^2) ,则 |X|leqslant 3 =( )已知 sim N(1,(2)^2) ,则 |X|leqslant 3 =( )A 0.4772 B 0.3413 C 0.4987 D 0.8185
A 0.4772
B 0.3413
C 0.4987
D 0.8185
题目解答
答案
根据随机变量X的分布，可以对其归一化处理，得到
.因此可以化简概率不等式，得到
.根据选项，故选D。
解析
步骤 1：标准化随机变量
给定 $X\sim N(1,2^2)$，即 $X$ 服从均值为 $1$，方差为 $4$ 的正态分布。为了将 $X$ 转换为标准正态分布，我们使用标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 1$，$\sigma = 2$。因此，$Z = \frac{X - 1}{2}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：计算概率
我们需要计算 $P\{|X| \leqslant 3\}$，即 $P\{-3 \leqslant X \leqslant 3\}$。将 $X$ 代入标准化公式，得到 $P\{-3 \leqslant X \leqslant 3\} = P\{\frac{-3 - 1}{2} \leqslant \frac{X - 1}{2} \leqslant \frac{3 - 1}{2}\} = P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\}$。
步骤 3：利用标准正态分布表
根据标准正态分布表，$P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\} = \Phi(1) - \Phi(-2)$。由于 $\Phi(-2) = 1 - \Phi(2)$，因此 $P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\} = \Phi(1) - (1 - \Phi(2)) = \Phi(1) + \Phi(2) - 1$。根据题目给出的 $\Phi(1) = 0.8413$ 和 $\Phi(2) = 0.9772$，代入计算得到 $P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\} = 0.8413 + 0.9772 - 1 = 0.8185$。
给定 $X\sim N(1,2^2)$，即 $X$ 服从均值为 $1$，方差为 $4$ 的正态分布。为了将 $X$ 转换为标准正态分布，我们使用标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 1$，$\sigma = 2$。因此，$Z = \frac{X - 1}{2}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：计算概率
我们需要计算 $P\{|X| \leqslant 3\}$，即 $P\{-3 \leqslant X \leqslant 3\}$。将 $X$ 代入标准化公式，得到 $P\{-3 \leqslant X \leqslant 3\} = P\{\frac{-3 - 1}{2} \leqslant \frac{X - 1}{2} \leqslant \frac{3 - 1}{2}\} = P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\}$。
步骤 3：利用标准正态分布表
根据标准正态分布表，$P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\} = \Phi(1) - \Phi(-2)$。由于 $\Phi(-2) = 1 - \Phi(2)$，因此 $P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\} = \Phi(1) - (1 - \Phi(2)) = \Phi(1) + \Phi(2) - 1$。根据题目给出的 $\Phi(1) = 0.8413$ 和 $\Phi(2) = 0.9772$，代入计算得到 $P\{-2 \leqslant Z \leqslant 1\} = 0.8413 + 0.9772 - 1 = 0.8185$。