x=(1)/(n)(n=2,3,...) 是函数 f(x)=x[(1)/(x)] 的([cdot]为取整函数)( )A. 跳跃间断点B. 连续点C. 可去间断点D. 无穷间断点

本题考查函数间断点的类型判断，解题思路是先求出函数在$x = \frac{1}{n}(n = 2,3,\cdots)$处的左右极限，再根据间断点的定义判断间断点的类型。

步骤一：明确取整函数的性质

取整函数$[x]$表示不超过$x$的最大整数。对于$x=\frac{1}{n}(n = 2,3,\cdots)$，当$x$从左侧趋近于$\frac{1}{n}$时，即$x\in(\frac{1}{n + 1},\frac{1}{n})$，此时$\frac{1}{x}\in(n,n + 1)$，那么$[\frac{1}{x}]=n$；当$x$从右侧趋近于$\frac{1}{n}$时，即$x\in(\frac{1}{n},\frac{1}{n - 1})$，此时$\frac{1}{x}\in(n - 1,n)$，那么$[\frac{1}{x}]=n - 1$。

步骤二：计算函数在$x = \frac{1}{n}(n = 2,3,\cdots)$处的左极限

$\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{-}}x[\frac{1}{x}]$
因为当$x\to\frac{1}{n}^{-}$时，$[\frac{1}{x}]=n$，所以$\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{-}}x[\frac{1}{x}]=\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{-}}x\cdot n=\frac{1}{n}\cdot n = 1$。

步骤三：计算函数在$x = \frac{1}{n}(n = 2,3,\cdots)$处的右极限

$\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{+}}x[\frac{1}{x}]$
因为当$x\to\frac{1}{n}^{+}$时，$[\frac{1}{x}]=n - 1$，所以$\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{+}}x[\frac{1}{x}]=\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{+}}x\cdot (n - 1)=\frac{1}{n}\cdot (n - 1)=\frac{n - 1}{n}$。

步骤四：判断间断点的类型

由于$\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{-}}f(x)=1$，$\lim\limits_{x\to\frac{1}{n}^{+}}f(x)=\frac{n - 1}{n}$，左右极限都存在但不相等，根据间断点的定义，这种间断点为跳跃间断点。