19.设函数f(x)=}(sin2x+tan ax)/(x),&x<03,&x=0bcos x+e^x-1,&x>0在x=0处连续，求常数a,b.(8分)

题目分析

已知分段函数：
$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 2x + \tan ax}{x}, & x < 0 \\ 3, & x = 0 \\ b \cos x + e^x - 1, & x > 0 \end{cases}$
题目要求该函数在 $x = 0$ 处连续。根据函数连续性的定义，函数在 $x = 0$ 处连续的条件是：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$

已知 $f(0) = 3$，我们需要分别计算左极限和右极限，并令它们都等于 $3$，从而求出常数 $a$ 和 $b$。

1. 计算左极限

当 $x < 0$ 时，$f(x) = \frac{\sin 2x + \tan ax}{x}$。我们需要求：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x + \tan ax}{x}$

利用等价无穷小替换（当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$，$\tan ax \sim ax$），可以将极限拆分计算：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x + \tan ax}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin 2x}{x} + \frac{\tan ax}{x} \right)$

分别计算这两部分：

• $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$
• $\lim_{x \to 0^-} \frac{\tan ax}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax}{x} = a$

所以，左极限为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 + a$

根据连续性条件，左极限必须等于 $f(0) = 3$：
$2 + a = 3$
解得：
$a = 1$

2. 计算右极限

当 $x > 0$ 时，$f(x) = b \cos x + e^x - 1$。我们需要求：
$\lim_{x \to 0^+} (b \cos x + e^x - 1)$

由于该表达式在 $x = 0$ 处是初等函数，可以直接代入 $x = 0$：

• $\cos 0 = 1$
• $e^0 = 1$

所以，右极限为：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = b \cdot 1 + 1 - 1 = b$

根据连续性条件，右极限也必须等于 $f(0) = 3$：
$b = 3$

结论

通过上述计算，我们得出常数 $a$ 和 $b$ 的值分别为：

• $a = 1$
• $b = 3$