设 X_1, X_2 为来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的一个样本，hat(mu) = aX_1 + bX_2，则 a, b 满足(）条件时，hat(mu) 是 mu 的无偏估计量且有效估计量.A. a^2 + b^2 取值越小越有效；B. a = (1)/(2), b = (1)/(2)；C. a + b = 1；D. a^2 + b^2 = 1；

本题考查无偏估计量和有效估计量的概念及相关计算。解题思路是先根据无偏估计量的定义求出$a$与$b$满足的关系，再在此基础上求出$\hat{\mu}$的方差表达式，最后根据有效估计量的性质确定$a$、$b$的值。

1. 判断$\hat{\mu}$为无偏估计量时$a$、$b$满足的条件：
   • 若$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量，则$E(\hat{\mu}) = \mu$。
   • 已知$\hat{\mu} = aX_1 + bX_2$，且$X_1, X_2$为来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，根据期望的线性性质$E(c_1X_1 + c_2X_2)=c_1E(X_1)+c_2E(X_2)$（其中$c_1$、$c_2$为常数）可得：
     $E(\hat{\mu}) = E(aX_1 + bX_2)=aE(X_1) + bE(X_2)$
   • 因为$X_1, X_2$都来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，所以$E(X_1)=E(X_2)=\mu$，则$E(\hat{\mu}) = a\mu + b\mu=(a + b)\mu$。
   • 由$E(\hat{\mu}) = \mu$可得$(a + b)\mu = \mu$，因为$\mu$为总体均值，$\mu\neq0$，两边同时除以$\mu$，得到$a + b = 1$。
2. 计算$\hat{\mu}$的方差$D(\hat{\mu})$：
   • 根据方差的性质$D(c_1X_1 + c_2X_2)=c_1^2D(X_1)+c_2^2D(X_2)$（其中$c_1$、$c_2$为常数，且$X_1$、$X_2$相互独立），因为$X_1, X_2$是样本，相互独立，且$D(X_1)=D(X_2)=\sigma^2$，所以$D(\hat{\mu}) = D(aX_1 + bX_2)=a^2D(X_1) + b^2D(X_2)=a^2\sigma^2 + b^2\sigma^2=(a^2 + b^2)\sigma^2$。
   • 由$a + b = 1$可得$b = 1 - a$，将其代入$D(\hat{\mu})$的表达式中，得到$D(\hat{\mu}) = [a^2 + (1 - a)^2]\sigma^2$。
   • 对$a^2 + (1 - a)^2$进行化简：
     $\begin{align*}a^2 + (1 - a)^2&=a^2 + 1 - 2a + a^2\\&=2a^2 - 2a + 1\\&=2(a^2 - a) + 1\\&=2(a^2 - a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1\\&=2((a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1\\&=2(a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1\\&=2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}\end{align*}$
   • 所以$D(\hat{\mu}) = (2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2})\sigma^2$。
3. 确定$\hat{\mu}$为有效估计量时$a$、$b$的值：
   • 有效估计量是指在所有无偏估计量中方差最小的估计量。
   • 对于$D(\hat{\mu}) = (2(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2})\sigma^2$，因为$(a - \frac{1}{2})^2\geq0$，所以当$a - \frac{1}{2} = 0$，即$a = \frac{1}{2}$时，$D(\hat{\mu})$取得最小值。
   • 把$a = \frac{1}{2}$代入$b = 1 - a$，可得$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。