设 y=e^x sin x，则 dy=()A. e^x (sin x + cos x) dxB. e^x (cos x - sin x) dxC. -e^x (sin x + cos x) dxD. e^x (sin x - cos x) dx

本题考查复合函数求导以及微分的计算。解题思路是先根据乘积的求导法则求出函数$y = e^x\sin x$的导数$y^\prime$，再根据微分的定义$dy=y^\prime dx$求出$dy$。

步骤一：根据乘积求导法则求$y^\prime$

乘积求导法则为$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对于$y = e^x\sin x$，令$u = e^x$，$v = \sin x$。

• 求$u^\prime$：
  根据指数函数求导公式$(e^x)^\prime = e^x$，可得$u^\prime=(e^x)^\prime = e^x$。
• 求$v^\prime$：
  根据正弦函数求导公式$(\sin x)^\prime = \cos x$，可得$v^\prime = (\sin x)^\prime = \cos x$。
• 求$y^\prime$：
  将$u^\prime = e^x$，$v = \sin x$，$u = e^x$，$v^\prime = \cos x$代入乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得：
  $y^\prime=(e^x\sin x)^\prime=(e^x)^\prime\sin x + e^x(\sin x)^\prime=e^x\sin x + e^x\cos x=e^x(\sin x + \cos x)$

步骤二：根据微分定义求$dy$

根据微分的定义$dy=y^\prime dx$，将$y^\prime = e^x(\sin x + \cos x)$代入可得：
$dy = e^x(\sin x + \cos x)dx$