题目

证明：当x→0时，tan x-xsim(1)/(3)x^3.

证明：当x→0时，$\tan x-x\sim\frac{1}{3}x^{3}$.

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，利用泰勒展开式 $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，可得
$\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5).$
因此，
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\frac{1}{3}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{\frac{1}{3}x^3} = 1.$
或者，应用洛必达法则：
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\frac{1}{3}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3(\tan x - x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3(\sec^2 x - 1)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{x^2} = 1.$
（其中，$\sec^2 x - 1 \to 0$ 且 $x^2 \to 0$，连续应用洛必达法则可得结果。）

结论： 当 $x \to 0$ 时，$\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$。

$\boxed{\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3 \text{（当 } x \to 0 \text{）}}$

解析

考查要点：本题要求证明当$x \to 0$时，$\tan x - x$与$\frac{1}{3}x^3$是等价无穷小，即它们的比值极限为1。
解题核心思路：

  1. 泰勒展开法：利用$\tan x$的泰勒展开式，直接展开到$x^3$项，消去$x$后得到$\tan x - x$的主部。
  2. 洛必达法则：通过多次对分子和分母求导，化简极限表达式，最终得到结果。
    破题关键点：
  • 泰勒展开法的关键是正确写出$\tan x$的展开式至$x^3$项。
  • 洛必达法则需注意多次应用的条件，确保每次求导后仍满足“0/0”型不定式。

方法一：泰勒展开法

  1. 展开$\tan x$：
    $\tan x$的泰勒展开式为：
    $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5).$
  2. 计算$\tan x - x$：
    $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5).$
  3. 比较主部：
    当$x \to 0$时，高阶无穷小$O(x^5)$可忽略，故$\tan x - x$的主部为$\frac{x^3}{3}$，即：
    $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3.$

方法二：洛必达法则

  1. 构造极限表达式：
    $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\frac{1}{3}x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3(\tan x - x)}{x^3}.$
  2. 第一次应用洛必达法则：
    分子导数为$3\sec^2 x$，分母导数为$3x^2$，得：
    $\lim_{x \to 0} \frac{3\sec^2 x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x}{x^2}.$
  3. 第二次应用洛必达法则：
    分子导数为$2\sec^2 x \tan x$，分母导数为$2x$，得：
    $\lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x \tan x}{x}.$
  4. 化简极限：
    当$x \to 0$时，$\sec^2 x \to 1$，$\tan x \sim x$，故：
    $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cdot x}{x} = 1.$