25.由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数 mu =10.05,-|||-sigma =0.06 的正态分布.规定长度在范围 .05pm 0.12 内为合格-|||-品,求一螺栓为不合格品的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及将实际问题转化为标准正态分布，利用Z分数求解概率。

解题核心思路：

1. 确定合格范围：根据题意，合格范围是均值$\mu$的两边各延伸$0.12$，即$10.05 \pm 0.12$。
2. 计算不合格概率：不合格概率为总概率$1$减去合格概率。
3. 标准化转换：将合格范围的边界值转化为标准正态分布的Z分数，利用标准正态分布表求概率。

破题关键点：

• 正确计算Z分数：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，注意上下限的符号。
• 理解对称性：合格范围对应的标准差范围为$\pm 2\sigma$（因为$0.12 = 2 \times 0.06$），可直接利用经验法则快速判断概率。

步骤1：确定合格范围

合格范围为：
$10.05 - 0.12 = 9.93 \quad \text{至} \quad 10.05 + 0.12 = 10.17$

步骤2：计算合格概率

将边界值标准化为Z分数：

• 下限$X = 9.93$对应的Z分数：
  $Z_1 = \frac{9.93 - 10.05}{0.06} = \frac{-0.12}{0.06} = -2$
• 上限$X = 10.17$对应的Z分数：
  $Z_2 = \frac{10.17 - 10.05}{0.06} = \frac{0.12}{0.06} = 2$

查标准正态分布表：

• $P(Z < 2) = 0.9772$
• $P(Z < -2) = 0.0228$

合格概率为：
$P(9.93 < X < 10.17) = P(-2 < Z < 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$

步骤3：计算不合格概率

不合格概率为：
$1 - P(9.93 < X < 10.17) = 1 - 0.9544 = 0.0456$