1. (10.0分)自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重Xsim N(mu,sigma^2)，其中mu,sigma^2未知，按规定每袋盐的标准重量为500克。为检查机器的工作情况，随机地抽取9袋测得样本均值overline(x)=495.5克，样本标准差s_(n-1)=15.6克。1）试求mu的置信水平为90%的置信区间。2）在显著性水平alpha=0.05下，检验包装机的工作是否正常？专用分位数查表-1Phi(1)=0.841 Phi(1.96)=0.975t_(0.975)(8)=2.306 t_(0.975)(9)=2.262t_(0.95)(8)=1.8595 t_(0.95)(9)=1.8331专用分位数查表-2Phi(1)=0.8413 Phi(1.96)=0.975t_(0.025)(8)=2.306 t_(0.025)(9)=2.262t_(0.05)(8)=1.8595 t_(0.05)(9)=1.8331
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们将分两部分进行：找到$\mu$的置信区间，然后进行假设检验。
第一部分：$\mu$的置信区间
已知：
- 样本均值$\overline{x} = 495.5$克
- 样本标准差$s_{n-1} = 15.6$克
- 样本大小$n = 9$
- 置信水平为90%，因此$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$
由于总体标准差$\sigma$未知，我们使用t分布。具有$n-1$自由度的t分布的临界值为$t_{\alpha/2, n-1}$。对于90%的置信水平和8自由度，我们有：
$t_{0.05, 8} = 1.8595$
$\mu$的置信区间由下式给出：
$\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}$
代入已知值：
$495.5 \pm 1.8595 \cdot \frac{15.6}{\sqrt{9}}$
$495.5 \pm 1.8595 \cdot \frac{15.6}{3}$
$495.5 \pm 1.8595 \cdot 5.2$
$495.5 \pm 9.6694$
因此，90%的置信区间为：
$(495.5 - 9.6694, 495.5 + 9.6694)$
$(485.8306, 505.1694)$
所以，$\mu$的置信水平为90%的置信区间为：
$\boxed{(485.83, 505.17)}$
第二部分：假设检验
我们需要在显著性水平$\alpha = 0.05$下检验包装机的工作是否正常。零假设$H_0$是$\mu = 500$克，备择假设$H_1$是$\mu \neq 500$克。
检验统计量为：
$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s_{n-1} / \sqrt{n}}$
代入已知值：
$t = \frac{495.5 - 500}{15.6 / \sqrt{9}}$
$t = \frac{-4.5}{15.6 / 3}$
$t = \frac{-4.5}{5.2}$
$t \approx -0.8654$
具有8自由度的t分布的临界值为$t_{0.025, 8} = 2.306$。由于这是双侧检验，我们比较$|t|$与$t_{0.025, 8}$：
$|t| = 0.8654$
$0.8654 < 2.306$
由于$|t|$小于临界值，我们不拒绝零假设。因此，没有足够的证据在5%的显著性水平下得出包装机的工作不正常的结论。
所以，假设检验的结论是：
$\boxed{\text{包装机的工作正常}}$
解析
本题主要考查正态总体均值的区间估计和假设检验的知识。解题思路如下：
1. 求$\mu$的置信水平为$90\%$的置信区间
- 已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\sigma^{2}$未知，样本均值为$\overline{x}$，样本标准差为$s_{n - 1}$，样本容量为$n$。
- 当总体方差未知时，使用$t$分布来构造$\mu$的置信区间。$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间公式为$\overline{x}\pm t_{\alpha/2,n - 1}\cdot\frac{s_{n - 1}}{\sqrt{n}}$。
- 首先确定$\alpha$的值，由置信水平$1-\alpha = 0.90$，可得$\alpha=0.10$，则$\alpha/2 = 0.05$。
- 样本容量$n = 9$，自由度$df=n - 1=9 - 1 = 8$。
- 从给定的分位数表中查得$t_{0.05,8}=1.8595$。
- 已知$\overline{x}=495.5$克，$s_{n - 1}=15.6$克，将这些值代入置信区间公式：
- 先计算$\frac{s_{n - 1}}{\sqrt{n}}=\frac{15.6}{\sqrt{9}}=\frac{15.6}{3}=5.2$。
- 再计算$t_{\alpha/2,n - 1}\cdot\frac{s_{n - 1}}{\sqrt{n}}=1.8595\times5.2 = 9.6694$。
- 所以$\mu$的$90\%$置信区间为$\overline{x}\pm t_{\alpha/2,n - 1}\cdot\frac{s_{n - 1}}{\sqrt{n}}=495.5\pm9.6694$，即$(495.5 - 9.6694,495.5 + 9.6694)=(485.8306,505.1694)$，保留两位小数为$(485.83,505.17)$。
2. 在显著性水平$\alpha = 0.05$下，检验包装机的工作是否正常
- 提出假设：零假设$H_0:\mu = 500$（包装机工作正常），备择假设$H_1:\mu\neq500$（包装机工作不正常）。
- 由于总体方差未知，使用$t$检验统计量$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s_{n - 1}/\sqrt{n}}$，其中$\mu_0 = 500$。
- 已知$\overline{x}=495.5$，$s_{n - 1}=15.6$，$n = 9$，代入$t$统计量公式：
- 先计算$\frac{s_{n - 1}}{\sqrt{n}}=\frac{15.6}{\sqrt{9}} = 5.2$。
- 再计算$t=\frac{495.5 - 500}{5.2}=\frac{-4.5}{5.2}\approx - 0.8654$。
- 对于双侧检验，自由度$df=n - 1 = 8$，显著性水平$\alpha = 0.05$，则$\alpha/2=0.025$。
- 从分位数表中查得$t_{0.025,8}=2.306$。
- 比较$\vert t\vert$与$t_{0.025,8}$的大小，$\vert t\vert=\vert - 0.8654\vert = 0.8654$，因为$0.8654<2.306$，所以不拒绝零假设$H_0$，即没有足够的证据表明包装机工作不正常，可认为包装机工作正常。