题目
1.某工厂用原工艺生产的钢筋的折断力X~N(580，8²)，今改用新工艺生产，假断力方差不变，从新工艺生产的钢筋中随机抽取10根，测得其折断力如下：578 572 570 568 572 573 570 572 569 584若取a=0.05，试检验折断力均值是否变小.
1.某工厂用原工艺生产的钢筋的折断力X~N(580，8²)，今改用新工艺生产，假断力方差不变，从新工艺生产的钢筋中随机抽取10根，测得其折断力如下：
578 572 570 568 572 573 570 572 569 584
若取a=0.05，试检验折断力均值是否变小.
题目解答
答案
**解：**
1. **假设：**
$H_0: \mu \geq 580$（均值不变或变大），
$H_1: \mu < 580$（均值变小）。
2. **计算样本均值：**
$\bar{X} = \frac{1}{10} \sum X_i = 572.8$。
3. **检验统计量：**
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{572.8 - 580}{8 / \sqrt{10}} \approx -2.846$。
4. **临界值：**
$\alpha = 0.05$，左侧检验临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
5. **结论：**
$Z \approx -2.846 < -1.645$，拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。
**答案：**
认为折断力均值变小。
解析
步骤 1：假设检验
- 原假设 $H_0: \mu \geq 580$（均值不变或变大）
- 备择假设 $H_1: \mu < 580$（均值变小）
步骤 2：计算样本均值
- 样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{10} \sum X_i = \frac{1}{10} (578 + 572 + 570 + 568 + 572 + 573 + 570 + 572 + 569 + 584) = 572.8$
步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{572.8 - 580}{8 / \sqrt{10}} \approx -2.846$
步骤 4：确定临界值
- 临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$（左侧检验，$\alpha = 0.05$）
步骤 5：做出决策
- 比较检验统计量与临界值：$Z \approx -2.846 < -1.645$
- 拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$
- 原假设 $H_0: \mu \geq 580$（均值不变或变大）
- 备择假设 $H_1: \mu < 580$（均值变小）
步骤 2：计算样本均值
- 样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{10} \sum X_i = \frac{1}{10} (578 + 572 + 570 + 568 + 572 + 573 + 570 + 572 + 569 + 584) = 572.8$
步骤 3：计算检验统计量
- 检验统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{572.8 - 580}{8 / \sqrt{10}} \approx -2.846$
步骤 4：确定临界值
- 临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$（左侧检验，$\alpha = 0.05$）
步骤 5：做出决策
- 比较检验统计量与临界值：$Z \approx -2.846 < -1.645$
- 拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$