设总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 mu 和 sigma^2 均未知，X_1, X_2, dots, X_n 是来自总体 X 的样本，则 sigma^2 的矩估计量为（ ）。A. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_iB. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - bar(X))^2C. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - bar(X))^2D. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2

本题考查参数的矩估计法，解题思路是先求出总体的一阶矩和二阶矩，然后用样本矩代替总体矩，最后解出待估参数的矩估计量。

步骤一：求总体的一阶矩和二阶矩

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，根据期望和方差的性质：

• 总体的一阶矩$E(X)=\mu$。
• 总体的二阶矩$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$，因为$D(X)=\sigma^2$，$E(X)=\mu$，所以$E(X^2)=\sigma^2 + \mu^2$。

步骤二：求样本的一阶矩和二阶矩

设$X_1, X_2, \dots, X_n$是来自总体$X$的样本，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，样本二阶原点矩$A_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$。
根据矩估计法，用样本矩代替总体矩，即$E(X)=\bar{X}$，$E(X^2)=A_2$，可得$\mu = \bar{X}$，$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$。

步骤三：求解$\sigma^2$的矩估计量

将$\mu = \bar{X}$代入$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$中，可得：
$\sigma^2 + \bar{X}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$
移项可得$\sigma^2$的矩估计量为：
$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \bar{X}^2$
对$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \bar{X}^2$进行化简：
$\begin{align*}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \bar{X}^2&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i)^2\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \frac{1}{n^2} (\sum_{i=1}^{n} X_i)^2\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i^2 - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j)\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [X_i^2 - 2X_i\bar{X} + \bar{X}^2 - \bar{X}^2 + \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j]\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [(X_i - \bar{X})^2 - \bar{X}^2 + \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j]\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 - \bar{X}^2 + \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j\\&=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2\end{align*}$