题目

1.已知健康男童的体重近似服从正态分布，某年某地150名12岁健康男童体重的均数=36.3kg，标准差S=6.19kg，试估计：①该地12岁健康男童体重在50kg以上者占该地12岁健康男童总数的百分比；②该地12岁健康男童体重在30~40kg者占该地12岁健康男童总数的百分比；③该80%的12岁健康男童体重集中在哪个范围；④估计该地12岁健康男童体重的95%参考值范围

题目解答

答案

1. **计算 $ Z $ 值：** $ Z = \frac{X - \overline{X}}{S} $ 对于 $ X = 50 $ kg： $ Z = \frac{50 - 36.3}{6.19} \approx 2.21 $ 查表得 $ P(Z \ge 2.21) \approx 0.0136 $，即 **1.36%**。 2. **计算范围概率：** 对于 $ X_1 = 30 $ kg 和 $ X_2 = 40 $ kg： $ Z_1 \approx -1.02 $，$ Z_2 \approx 0.60 $ 查表得 $ P(-1.02 \le Z \le 0.60) \approx 0.5718 $，即 **57.18%**。 3. **80%范围：** $ P(-z \le Z \le z) = 0.80 $，查表得 $ z \approx 1.28 $ 计算范围： $[36.3 - 1.28 \times 6.19, 36.3 + 1.28 \times 6.19] \approx [28.38, 44.22]$ 4. **95%参考值范围：** $ P(-z \le Z \le z) = 0.95 $，查表得 $ z \approx 1.96 $ 计算范围： $[36.3 - 1.96 \times 6.19, 36.3 + 1.96 \times 6.19] \approx [24.17, 48.43]$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & 1.36\% \\ 2. & 57.18\% \\ 3. & [28.38, 44.22] \, \text{kg} \\ 4. & [24.17, 48.43] \, \text{kg} \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的应用，包括计算特定值的概率、区间概率、百分位数范围以及参考值范围的估计。
解题核心思路：

标准化转换：将原始数据转化为标准正态分布（Z分数），利用标准正态分布表查概率。
区间概率计算：通过Z分数确定上下限对应的概率，相减得到中间区域的概率。
百分位数范围：根据目标概率确定对应的Z值，反推原始数据范围。
参考值范围：利用正态分布的对称性，结合不同置信水平的Z值计算区间。

破题关键点：

正确计算Z值：公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
准确查标准正态分布表：注意区分单侧和双侧概率。
区间范围的对称性：参考值范围通常以均值为中心对称分布。

① 体重在50kg以上者的百分比

步骤1：计算Z值
$Z = \frac{50 - 36.3}{6.19} \approx 2.21$
步骤2：查标准正态分布表
Z=2.21对应的右侧概率为 $P(Z \ge 2.21) \approx 0.0136$，即 1.36%。

② 体重在30~40kg者的百分比

步骤1：计算上下限的Z值
$Z_1 = \frac{30 - 36.3}{6.19} \approx -1.02, \quad Z_2 = \frac{40 - 36.3}{6.19} \approx 0.60$
步骤2：查表求概率差
$P(-1.02 \le Z \le 0.60) = P(Z \le 0.60) - P(Z \le -1.02) \approx 0.7258 - 0.1539 = 0.5719$
即 57.18%。

③ 80%男童体重的集中范围

步骤1：确定Z值
双侧概率为80%，对应单侧尾部概率为10%，查表得 $Z \approx 1.28$。
步骤2：计算区间
$[36.3 - 1.28 \times 6.19, \ 36.3 + 1.28 \times 6.19] \approx [28.38, 44.22] \, \text{kg}$

④ 95%参考值范围

步骤1：确定Z值
双侧概率为95%，对应单侧尾部概率为2.5%，查表得 $Z \approx 1.96$。
步骤2：计算区间
$[36.3 - 1.96 \times 6.19, \ 36.3 + 1.96 \times 6.19] \approx [24.17, 48.43] \, \text{kg}$