已知因果系统[1]用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)，试求系统的单位脉冲响应 h(n).

考查要点：本题主要考查离散时间因果系统的单位脉冲响应求解方法，涉及差分方程的递推求解和分段表达。

解题核心思路：

1. 代入单位脉冲信号：将输入$x(n)$设为$\delta(n)$，得到关于单位脉冲响应$h(n)$的差分方程。
2. 逐项递推计算：利用因果性（$h(n)=0$当$n<0$），逐项计算$h(0)$、$h(1)$等初始值。
3. 求解齐次方程：当$n \geq 1$时，差分方程变为齐次方程，通过递推关系求通解，并结合初始条件确定系数。
4. 分段表达结果：将结果整理为分段函数或利用单位阶跃函数表示。

破题关键点：

• 因果性：系统因果性决定了$h(n)$在$n<0$时为0。
• 递推关系：$n \geq 1$时，方程简化为$h(n)=0.9h(n-1)$，需结合$h(1)=1.4$确定通解系数。

代入单位脉冲信号

令输入$x(n)=\delta(n)$，则差分方程变为：
$h(n) = 0.9h(n-1) + \delta(n) + 0.5\delta(n-1)$

逐项计算初始值

1. $n=-1$：因系统因果，$h(-1)=0$。
2. $n=0$：
   $h(0) = 0.9h(-1) + \delta(0) + 0.5\delta(-1) = 0 + 1 + 0 = 1$
3. $n=1$：
   $h(1) = 0.9h(0) + \delta(1) + 0.5\delta(0) = 0.9 \cdot 1 + 0 + 0.5 \cdot 1 = 1.4$

求解$n \geq 1$的通解

当$n \geq 1$时，$\delta(n)=0$且$\delta(n-1)=0$，方程简化为齐次方程：
$h(n) = 0.9h(n-1)$
通解形式为：
$h(n) = C \cdot (0.9)^n$
利用$h(1)=1.4$确定常数$C$：
$1.4 = C \cdot 0.9 \implies C = \frac{1.4}{0.9} = \frac{14}{9}$
因此，当$n \geq 1$时：
$h(n) = \frac{14}{9} \cdot (0.9)^n$

整理分段表达式

综合各段结果：

• $n < 0$时，$h(n)=0$；
• $n=0$时，$h(0)=1$；
• $n \geq 1$时，$h(n)=\frac{14}{9}(0.9)^n$。