题目
4-14 设随机变量X,Y相互独立且同分布，都服从N(2,4).求：(1)P(X>Y);(3)Cov(X,Y).(2)E(|X-Y|),D(|X-Y|).
4-14 设随机变量X,Y相互独立且同分布，都服从N(2,4).求：
(1)P{X>Y};
(3)Cov(X,Y).
(2)$E(|X-Y|)$,$D(|X-Y|)$.
题目解答
答案
(1) 定义 $Z = X - Y$，则 $Z \sim N(0, 8)$。由于正态分布关于均值对称，$P\{Z > 0\} = \frac{1}{2}$。
答案：$\frac{1}{2}$
(2) 对于 $Z \sim N(0, 8)$，
\[
E(|Z|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}},
\]
\[
D(|Z|) = E(Z^2) - [E(|Z|)]^2 = 8 - \left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 - \frac{16}{\pi}.
\]
答案：$\frac{4}{\sqrt{\pi}}$，$8 - \frac{16}{\pi}$
(3) 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，
\[
\text{Cov}(X, Y) = 0.
\]
答案：$0$
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & \frac{1}{2} \\
(2) & \frac{4}{\sqrt{\pi}}, \quad 8 - \frac{16}{\pi} \\
(3) & 0 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：定义 $Z = X - Y$
定义 $Z = X - Y$，由于 $X$ 和 $Y$ 都服从 $N(2, 4)$，且相互独立，根据正态分布的性质，$Z$ 也服从正态分布，其均值为 $0$，方差为 $8$，即 $Z \sim N(0, 8)$。
步骤 2：计算 $P\{X > Y\}$
由于 $Z = X - Y$，$P\{X > Y\}$ 等价于 $P\{Z > 0\}$。由于 $Z$ 服从 $N(0, 8)$，且正态分布关于均值对称，$P\{Z > 0\} = \frac{1}{2}$。
步骤 3：计算 $E(|X-Y|)$ 和 $D(|X-Y|)$
对于 $Z \sim N(0, 8)$，$E(|Z|)$ 可以通过公式 $E(|Z|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ 计算，其中 $\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，因此 $E(|Z|) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$。$D(|Z|)$ 可以通过公式 $D(|Z|) = E(Z^2) - [E(|Z|)]^2$ 计算，其中 $E(Z^2) = 8$，因此 $D(|Z|) = 8 - \left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 - \frac{16}{\pi}$。
步骤 4：计算 $\text{Cov}(X, Y)$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$\text{Cov}(X, Y) = 0$。
定义 $Z = X - Y$，由于 $X$ 和 $Y$ 都服从 $N(2, 4)$，且相互独立，根据正态分布的性质，$Z$ 也服从正态分布，其均值为 $0$，方差为 $8$，即 $Z \sim N(0, 8)$。
步骤 2：计算 $P\{X > Y\}$
由于 $Z = X - Y$，$P\{X > Y\}$ 等价于 $P\{Z > 0\}$。由于 $Z$ 服从 $N(0, 8)$，且正态分布关于均值对称，$P\{Z > 0\} = \frac{1}{2}$。
步骤 3：计算 $E(|X-Y|)$ 和 $D(|X-Y|)$
对于 $Z \sim N(0, 8)$，$E(|Z|)$ 可以通过公式 $E(|Z|) = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ 计算，其中 $\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，因此 $E(|Z|) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$。$D(|Z|)$ 可以通过公式 $D(|Z|) = E(Z^2) - [E(|Z|)]^2$ 计算，其中 $E(Z^2) = 8$，因此 $D(|Z|) = 8 - \left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 - \frac{16}{\pi}$。
步骤 4：计算 $\text{Cov}(X, Y)$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$\text{Cov}(X, Y) = 0$。