设总体X的分布律为 [ X sim } 1 theta^2 2 2theta(1-theta) 3 (1-theta)^2 ] 其中theta(0A. 2theta^3(1-theta)^3B. 2theta^3(1-theta)C. 2theta^5(1-theta)D. 2theta^5(1-theta)^3

本题考查离散离散型总体的似然函数的计算。解题思路是先明确似然函数的定义，对于离散型型总体，似然然函数是样本取值的概率的连乘积。然后根据总体的分布律，找出样本中每个取值对应的概率，最后将这些概率相乘得到似然函数。

已知总体$X$的分布律为：
$P(X = 1)=\theta^2$，$P(X = 2)=2\theta(1 - \theta)$，$P(X = 3)=(1 - \theta)^2$。
样本值为$1, 2, 1)，即\(x_1 = 1$，$x_2 = 2$，$x_3 = 1$。
根据似然函数的定义，似函数$L(\theta)$为样本取值的联合概率分布，对于离散型总体，有$L(\theta)=\prod_{i = 1}^{n}P(X = x_i)$ )，其中$n$为样本容量，这里$n = 3$。

• 当$x_1 = 1$时，$P(X = 1)=\theta^2$；
• 当$x2 = 2$时，$P(X = 2)=2\theta(1 - \theta)$；
• 当$x3 = 1$时，$P(X = 1)=\theta^2$。

将上述概率相乘可得似然函数：
$\begin{align*}L(\theta)&=P(X = 1)P(X = 2)P(X = 1)\\&=\theta^2\times2\theta(1 - \theta)\times\theta^2\\&=2\theta^{2 + 1+ 2}(1 - \theta)\\&=2\theta^5(1 - \theta)\end{align*}$

所以似然函数为$2\theta^5(1 - \theta)$。