题目
19.设X1,X2,···,xm,···, _(n)(mlt n) 是来自正态总体N 0,1)的样本分布,令 =-|||-(({x)_(1)+(x)_(2)+... +(x)_(n))}^2+b(({x)_(n+1)+... +(x)_(n))}^2-|||-(1)求a,b的值使得Y服从x^2分布;-|||-(2)求c,d的值,使 =dfrac (c({X)_(1)+(X)_(2)+... +(X)_(m))}(dsqrt {{{X)_(min+1)}+... +({X)_(n)}}^2} 服从t分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求 $a,b$ 的值使得 $Y$ 服从 $\chi ^{2}$ 分布
- 由于 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n}$ 服从 $N(0,n)$。
- 为了使 $Y$ 服从 $\chi ^{2}$ 分布，需要 $a{({X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n})}^{2}$ 和 $b{({X}_{n+1}+\cdots +{X}_{n})}^{2}$ 分别服从 $\chi ^{2}$ 分布。
- 由于 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n}$ 服从 $N(0,n)$，因此 ${({X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n})}^{2}/n$ 服从 $\chi ^{2}(1)$，所以 $a=n$。
- 同理，${X}_{n+1}+\cdots +{X}_{n}$ 服从 $N(0,n-m)$，因此 ${({X}_{n+1}+\cdots +{X}_{n})}^{2}/(n-m)$ 服从 $\chi ^{2}(1)$，所以 $b=n-m$。
步骤 2：求 $c,d$ 的值，使 $Z=c(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{m})$ 服从 $t$ 分布
- 由于 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{m}$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{m}$ 服从 $N(0,m)$。
- 为了使 $Z$ 服从 $t$ 分布，需要 $c(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{m})$ 服从 $t$ 分布。
- 由于 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{m}$ 服从 $N(0,m)$，因此 $c(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{m})/\sqrt{m}$ 服从 $t$ 分布，所以 $c=\sqrt{n-m}$。
- 同理，$d=\sqrt{m}$。
- 由于 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n}$ 服从 $N(0,n)$。
- 为了使 $Y$ 服从 $\chi ^{2}$ 分布，需要 $a{({X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n})}^{2}$ 和 $b{({X}_{n+1}+\cdots +{X}_{n})}^{2}$ 分别服从 $\chi ^{2}$ 分布。
- 由于 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n}$ 服从 $N(0,n)$，因此 ${({X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{n})}^{2}/n$ 服从 $\chi ^{2}(1)$，所以 $a=n$。
- 同理，${X}_{n+1}+\cdots +{X}_{n}$ 服从 $N(0,n-m)$，因此 ${({X}_{n+1}+\cdots +{X}_{n})}^{2}/(n-m)$ 服从 $\chi ^{2}(1)$，所以 $b=n-m$。
步骤 2：求 $c,d$ 的值，使 $Z=c(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{m})$ 服从 $t$ 分布
- 由于 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{m}$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，因此 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{m}$ 服从 $N(0,m)$。
- 为了使 $Z$ 服从 $t$ 分布，需要 $c(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{m})$ 服从 $t$ 分布。
- 由于 ${X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{m}$ 服从 $N(0,m)$，因此 $c(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{m})/\sqrt{m}$ 服从 $t$ 分布，所以 $c=\sqrt{n-m}$。
- 同理，$d=\sqrt{m}$。