题目
设二维正态分布(X,Y)sim N(1,-2,9,4,-dfrac (1)(3)),则(X,Y)sim N(1,-2,9,4,-dfrac (1)(3)).
设二维正态分布
,则
.
题目解答
答案
二维正态分布
,则
,
,
,则
.
解析
步骤 1:理解二维正态分布的参数
二维正态分布$(X,Y)\sim N(1,-2,9,4,-\dfrac {1}{3})$,其中:
- $E(X)=1$,$E(Y)=-2$,即X和Y的期望值。
- $D(X)=9$,$D(Y)=4$,即X和Y的方差。
- $\rho_{XY}=-\dfrac {1}{3}$,即X和Y的相关系数。
步骤 2:计算协方差
协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数$\rho_{XY}$和标准差$\sigma_X$、$\sigma_Y$来计算。公式为:
\[Cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y\]
其中,$\sigma_X = \sqrt{D(X)}$,$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)}$。
步骤 3:代入数值计算
根据题目给定的参数,我们有:
- $\rho_{XY} = -\dfrac {1}{3}$
- $\sigma_X = \sqrt{9} = 3$
- $\sigma_Y = \sqrt{4} = 2$
代入公式计算Cov(X,Y):
\[Cov(X,Y) = -\dfrac {1}{3} \cdot 3 \cdot 2 = -2\]
二维正态分布$(X,Y)\sim N(1,-2,9,4,-\dfrac {1}{3})$,其中:
- $E(X)=1$,$E(Y)=-2$,即X和Y的期望值。
- $D(X)=9$,$D(Y)=4$,即X和Y的方差。
- $\rho_{XY}=-\dfrac {1}{3}$,即X和Y的相关系数。
步骤 2:计算协方差
协方差Cov(X,Y)可以通过相关系数$\rho_{XY}$和标准差$\sigma_X$、$\sigma_Y$来计算。公式为:
\[Cov(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y\]
其中,$\sigma_X = \sqrt{D(X)}$,$\sigma_Y = \sqrt{D(Y)}$。
步骤 3:代入数值计算
根据题目给定的参数,我们有:
- $\rho_{XY} = -\dfrac {1}{3}$
- $\sigma_X = \sqrt{9} = 3$
- $\sigma_Y = \sqrt{4} = 2$
代入公式计算Cov(X,Y):
\[Cov(X,Y) = -\dfrac {1}{3} \cdot 3 \cdot 2 = -2\]