18.(单选题，5分)若D_(n)=}1& & & 1&1& & 1&1&1& &vdots&vdots&ddots1&1&1&...1(n≥2),则所有元素的代数余子式之和等于( ).A. nB. -1C. 0D. 1

本题考查行列式的代数余子式以及伴随矩阵的性质。解题的关键思路是先求出原行列式的值，再根据伴随矩阵与原行列式的关系，以及代数余子式之和与伴随矩阵元素之和的联系来求解。

1. 计算原行列式$D_{n}$的值：
   已知$D_{n}=\begin{vmatrix}1& & & \\1&1& & \\1&1&1& \\&\vdots&\vdots&\ddots\\1&1&1&\cdots1\end{vmatrix}$（$n\geq2$），将第一行乘以$-1$加到第二行，第二行乘以$-1$加到第三行，以此类推，第$n - 1$行乘以$-1$加到第$n$行，可得：
   $D_{n}=\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots&0\\1&0&0&\cdots&0\\1&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{vmatrix}$
   根据行列式的性质，若行列式中有两行元素对应相等，则行列式的值为$0$，所以$D_{n}=0$（$n\geq2$）。
2. 明确代数余子式之和与伴随矩阵的关系：
   设$A=(a_{ij})$是$n$阶方阵，$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式，伴随矩阵$A^{*}=(A_{ji})$，那么所有元素的代数余子式之和就是伴随矩阵$A^{*}$的所有元素之和。
3. 利用伴随矩阵与原行列式的关系求解：
   根据公式$AA^{*}=|A|E$（其中$E$为$n$阶单位矩阵），已知$D_{n}=|A| = 0$（$n\geq2$），则$AA^{*}=0$。
   若$A$可逆，即$|A|\neq0$，在$AA^{*}=|A|E$两边同时左乘$A^{-1}$，可得$A^{*}=|A|A^{-1}$。
   对于本题的$n$阶方阵$A$，当$n = 2$时，$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$，$|A| = 1\times1 - 0\times1 = 1\neq0$，$A$可逆，$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\ -1&1\end{pmatrix}$，$A^{*}=|A|A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\ -1&1\end{pmatrix}$，$A^{*}$的所有元素之和为$1 + 0 + (-1) + 1 = 1$。
   当$n\gt2$时，$r(A)=n - 1\lt n$，$A$不可逆，但我们可以从伴随矩阵的秩的性质来考虑，$r(A^{*})=\begin{cases}n, & r(A)=n\\1, & r(A)=n - 1\\0, & r(A)\lt n - 1\end{cases}$，这里$r(A)=n - 1$，所以$r(A^{*}) = 1$，且$AA^{*}=0$，说明$A^{*}$的列向量都是齐次线性方程组$Ax = 0$的解，$Ax = 0$的基础解系所含向量个数为$n - r(A)=1$，所以$A^{*}$的列向量都成比例，又因为$A^{*}$的元素都是代数余子式，通过计算可知$A^{*}$的所有元素之和为$1$。