题目
1、某车间生产的螺钉，其直径X~N(μ，σ²)，由过去的经验知道σ²=0.06，今随机抽取6枚，测得其长度(单位mm)如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求μ的置信概率为0.95的置信区间.
1、某车间生产的螺钉，其直径X~N(μ，σ²)，由过去的经验知道σ²=0.06，今随机抽取6枚，测得其长度(单位mm)如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2
试求μ的置信概率为0.95的置信区间.
题目解答
答案
已知：
- 样本均值 $\overline{x} = \frac{1}{6} \sum x_i = 14.95$
- 总体方差 $\sigma^2 = 0.06$，标准差 $\sigma = \sqrt{0.06}$
- 样本量 $n = 6$
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $u_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$
置信区间公式：
\[
\left( \overline{x} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\]
计算半径：
\[
u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} = 1.96 \times 0.1 = 0.196
\]
置信区间：
\[
(14.95 - 0.196, 14.95 + 0.196) = (14.754, 15.146)
\]
**答案：**
\[
\boxed{(14.754, 15.146)}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
样本均值 $\overline{x}$ 是所有样本值的平均值。根据题目给出的数据，计算样本均值如下：
\[ \overline{x} = \frac{1}{6} \sum x_i = \frac{1}{6} (14.7 + 15.0 + 14.8 + 14.9 + 15.1 + 15.2) = 14.95 \]
步骤 2：确定置信区间的公式
由于总体方差已知，且样本量较小，我们使用正态分布的置信区间公式来计算μ的置信区间。置信区间公式为：
\[ \left( \overline{x} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
其中，$\overline{x}$ 是样本均值，$u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是对应于置信水平的正态分布临界值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：计算置信区间的半径
根据题目给出的数据，总体方差 $\sigma^2 = 0.06$，标准差 $\sigma = \sqrt{0.06}$，样本量 $n = 6$，置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $u_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$。计算置信区间的半径如下：
\[ u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} = 1.96 \times 0.1 = 0.196 \]
步骤 4：计算置信区间
根据置信区间的公式，计算μ的置信区间如下：
\[ (14.95 - 0.196, 14.95 + 0.196) = (14.754, 15.146) \]
样本均值 $\overline{x}$ 是所有样本值的平均值。根据题目给出的数据，计算样本均值如下：
\[ \overline{x} = \frac{1}{6} \sum x_i = \frac{1}{6} (14.7 + 15.0 + 14.8 + 14.9 + 15.1 + 15.2) = 14.95 \]
步骤 2：确定置信区间的公式
由于总体方差已知，且样本量较小，我们使用正态分布的置信区间公式来计算μ的置信区间。置信区间公式为：
\[ \left( \overline{x} \pm u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
其中，$\overline{x}$ 是样本均值，$u_{\frac{\alpha}{2}}$ 是对应于置信水平的正态分布临界值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本量。
步骤 3：计算置信区间的半径
根据题目给出的数据，总体方差 $\sigma^2 = 0.06$，标准差 $\sigma = \sqrt{0.06}$，样本量 $n = 6$，置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $u_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$。计算置信区间的半径如下：
\[ u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{\sqrt{0.06}}{\sqrt{6}} = 1.96 \times 0.1 = 0.196 \]
步骤 4：计算置信区间
根据置信区间的公式，计算μ的置信区间如下：
\[ (14.95 - 0.196, 14.95 + 0.196) = (14.754, 15.146) \]