题目

28.（4.0分） 设A为3阶方阵，且|A|=2，|B|=2则|2AB^-1|=.

28.（4.0分） 设A为3阶方阵，且|A|=2，|B|=2则$|2AB^{-1}|$=.

题目解答

答案

根据行列式的性质，有： 1. $ |AB| = |A||B| $； 2. $ |B^{-1}| = \frac{1}{|B|} $； 3. 对于3阶方阵 $ A $，$ |kA| = k^3|A| $。 已知 $ |A| = 2 $，$ |B| = 2 $，则： \[ |2AB^{-1}| = |2A||B^{-1}| = (2^3|A|) \cdot \frac{1}{|B|} = 8 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 8 \] 答案：$\boxed{8}$

解析

本题考查方阵行列式的性质，解题思路是根据行列式的相关性质逐步化简$\vert 2AB^{-1}\vert$，再代入已知条件$\vert A\vert = 2$，$\vert B\vert = 2$进行计算。

  1. 利用行列式性质$\vert CD\vert=\vert C\vert\vert D\vert$化简$\vert 2AB^{-1}\vert$：
    设$C = 2A$，$D = B^{-1}$，根据上述性质可得$\vert 2AB^{-1}\vert=\vert 2A\vert\vert B^{-1}\vert$。
  2. 分别计算$\vert 2A\vert$和$\vert B^{-1}\vert$：
    • 对于$n$阶方阵$M$，有$\vert kM\vert = k^n\vert M\vert$，因为$A$是$3$阶方阵，所以$\vert 2A\vert = 2^3\vert A\vert$。
    • 根据逆矩阵行列式的性质，对于可逆矩阵$B$，有$\vert B^{-1}\vert = \frac{1}{\vert B\vert}$。
  3. 将$\vert 2A\vert = 2^3\vert A\vert$和$\vert B^{-1}\vert = \frac{1}{\vert B\vert}$代入$\vert 2AB^{-1}\vert=\vert 2A\vert\vert B^{-1}\vert$：
    可得$\vert 2AB^{-1}\vert = 2^3\vert A\vert\cdot\frac{1}{\vert B\vert}$。
  4. 代入已知条件$\vert A\vert = 2$，$\vert B\vert = 2$进行计算：
    $\begin{align*}\vert 2AB^{-1}\vert&= 2^3\times 2\times\frac{1}{2}\\&= 8\times 2\times\frac{1}{2}\\&= 8\end{align*}$