4.(单选题，10分)z=-sqrt(2)(sin(pi)/(6)+cos(pi)/(6))的指数表示式为（）。A. sqrt(2)e^(2pi i)/(3)B. sqrt(2)e^(-pi i)/(3)C. sqrt(2)e^(-2pi i)/(3)

考查要点：本题主要考查复数的代数形式与指数形式的转换，涉及模长计算、辐角确定以及欧拉公式的应用。

解题核心思路：

1. 识别复数的代数形式：将题目中的表达式转化为标准的复数形式 $a + ib$。
2. 计算模长：利用公式 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$。
3. 确定辐角：根据复数所在象限及实部、虚部的符号计算辐角，注意负角度的等价性。
4. 应用欧拉公式：将代数形式转换为指数形式 $r e^{i\theta}$。

破题关键点：

• 确认虚数单位的存在：题目中隐含复数形式，括号内应包含虚数单位 $i$。
• 正确计算辐角：注意复数位于第三象限，需调整参考角至正确范围。

步骤1：写出复数的代数形式

题目中 $z = -\sqrt{2} \left( \sin\frac{\pi}{6} + i\cos\frac{\pi}{6} \right)$，展开得：
$z = -\sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}.$

步骤2：计算模长

模长 $r = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{6}{4}} = \sqrt{2}$。

步骤3：确定辐角

复数位于第三象限，参考角 $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{2}/2}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$，故辐角为 $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$，或等价表示为 $-\frac{2\pi}{3}$。

步骤4：写成指数形式

根据欧拉公式，$z = \sqrt{2} e^{-i \frac{2\pi}{3}}$，对应选项C。