在某地随机调查成年男子100人，得白细胞均数为5.5 times 10^12/L，标准差为0.4 times 10^12/L，则其95%可信区间为()。A. (5.5 pm 1.96 times 0.4) times 10^12/LB. (5.5 pm 1.96 times 0.4/10) times 10^12/LC. (5.5 pm 2.58 times 0.4) times 10^12/LD. (5.5 pm 2.58 times 0.4/10) times 10^12/L
在某地随机调查成年男子100人，得白细胞均数为$5.5 \times 10^{12}/L$，标准差为$0.4 \times 10^{12}/L$，则其95%可信区间为()。 A. $(5.5 \pm 1.96 \times 0.4) \times 10^{12}/L$ B. $(5.5 \pm 1.96 \times 0.4/10) \times 10^{12}/L$ C. $(5.5 \pm 2.58 \times 0.4) \times 10^{12}/L$ D. $(5.5 \pm 2.58 \times 0.4/10) \times 10^{12}/L$
题目解答
答案
我们来逐步分析这道题：
题目信息：
- 样本数量：100 人
- 样本均数（样本平均值）：$ \bar{x} = 5.5 \times 10^{12}/L $
- 样本标准差：$ s = 0.4 \times 10^{12}/L $
- 置信水平：95%
- 要求：求 95% 的置信区间（Confidence Interval）
第一步：理解置信区间公式
对于总体均值的置信区间，当样本量较大（通常 $n \geq 30$）时，可以使用正态分布近似，公式为：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：
- $ \bar{x} $：样本均数
- $ s $：样本标准差
- $ n $：样本容量
- $ z_{\alpha/2} $：对应置信水平的标准正态分布的临界值
- 95% 置信水平对应 $ z_{\alpha/2} = 1.96 $
第二步：代入数据计算
$\bar{x} = 5.5 \times 10^{12}/L,\quad s = 0.4 \times 10^{12}/L,\quad n = 100$
$\text{标准误} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.4}{\sqrt{100}} = \frac{0.4}{10} = 0.04$
$\text{置信区间} = 5.5 \pm 1.96 \times 0.04$
所以，95% 置信区间为：
$(5.5 \pm 1.96 \times 0.04) \times 10^{12}/L$
第三步：对比选项
我们来看选项：
-
A. $(5.5 \pm 1.96 \times 0.4) \times 10^{12}/L$
→ 错误，用了标准差而不是标准误（没除以 $\sqrt{n}$） -
B. $(5.5 \pm 1.96 \times 0.4/10) \times 10^{12}/L$
→ 正确，因为 $0.4/10 = 0.04$，与我们计算的标准误一致 -
C. $(5.5 \pm 2.58 \times 0.4) \times 10^{12}/L$
→ 错误，2.58 是 99% 置信水平的 z 值，且没有除以 $\sqrt{n}$ -
D. $(5.5 \pm 2.58 \times 0.4/10) \times 10^{12}/L$
→ 错误，虽然标准误正确，但 z 值错误（2.58 对应 99%）
最终答案：
$\boxed{\text{B. } (5.5 \pm 1.96 \times 0.4/10) \times 10^{12}/L}$
解析
考查要点：本题主要考查大样本均值的置信区间计算，涉及标准误和z值的应用。
解题核心思路：
- 判断适用分布：样本量为100（≥30），适用正态分布，使用z值。
- 计算标准误：标准误 = 样本标准差 ÷ 样本量的平方根。
- 确定z值：95%置信水平对应z值为1.96。
- 代入公式：置信区间 = 样本均值 ± z值 × 标准误。
破题关键点：
- 区分标准差与标准误：标准误需除以√n，避免混淆。
- 正确选择z值：95%对应1.96，而非2.58（99%）。
步骤1：确定公式与参数
- 公式：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
- 参数：
$\bar{x} = 5.5 \times 10^{12}/L$，$s = 0.4 \times 10^{12}/L$，$n = 100$，$z_{\alpha/2} = 1.96$（95%置信水平）。
步骤2：计算标准误
$\text{标准误} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.4}{\sqrt{100}} = \frac{0.4}{10} = 0.04 \times 10^{12}/L$
步骤3：代入公式求区间
$\text{置信区间} = 5.5 \pm 1.96 \times 0.04 = 5.5 \pm 0.0784 \quad (\times 10^{12}/L)$
步骤4：对比选项
- 选项B：$(5.5 \pm 1.96 \times 0.4/10) \times 10^{12}/L$
计算过程完全匹配，正确。