题目

十. (10分)设X_(1),X_(2) ... X_(n)是来自总体Xsim U(0,theta)的简单随机样本，其中参数theta为未知参数。求参数theta的极大似然估计量，并判定其是否是无偏估计量。

十. (10分)设$X_{1},X_{2} \cdots X_{n}$是来自总体$X\sim U(0,\theta)$的简单随机样本，其中参数$\theta$为未知参数。求参数$\theta$的极大似然估计量，并判定其是否是无偏估计量。

题目解答

答案

似然函数为 $L(\theta) = \frac{1}{\theta^n} \mathbb{I}_{\{0 \leq X_1, X_2, \ldots, X_n \leq \theta\}}$。为使 $L(\theta)$ 最大，$\theta$ 应满足 $\theta \geq \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$。由于 $\frac{1}{\theta^n}$ 是减函数，$\theta$ 的极大似然估计量为： \[ \hat{\theta} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} \] 设 $X_{(n)} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$，其密度函数为 $f_{X_{(n)}}(x) = \frac{n x^{n-1}}{\theta^n}$（$0 \leq x \leq \theta$）。计算期望： \[ E(\hat{\theta}) = \int_0^\theta x \cdot \frac{n x^{n-1}}{\theta^n} \, dx = \frac{n}{\theta^n} \int_0^\theta x^n \, dx = \frac{n \theta}{n+1} \] 由于 $E(\hat{\theta}) \neq \theta$，$\hat{\theta}$ 不是无偏估计量。 **答案：** \[ \boxed{\hat{\theta} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}, \text{不是无偏估计量}} \]

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布参数的极大似然估计及其无偏性的判断。
解题思路：

  1. 极大似然估计：通过构造似然函数，分析其最大值点的位置。由于均匀分布的限制条件，极大似然估计量与样本最大值相关。
  2. 无偏性判断：计算估计量的期望值，判断其是否等于被估计参数$\theta$。
    关键点：
  • 似然函数的构造需考虑所有样本均不超过$\theta$的条件。
  • 样本最大值的分布是计算期望的关键，需利用顺序统计量的性质。

极大似然估计量的求解

  1. 构造似然函数
    总体$X \sim U(0, \theta)$的概率密度函数为：
    $f(x; \theta) = \begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & 0 \leq x \leq \theta, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
    样本的联合密度函数（似然函数）为：
    $L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \frac{1}{\theta^n} \cdot \mathbb{I}_{\{0 \leq X_1, X_2, \ldots, X_n \leq \theta\}}.$

  2. 确定$\theta$的最小可能值
    为使$L(\theta) > 0$，必须满足$\theta \geq \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$。此时，$\dfrac{1}{\theta^n}$随$\theta$增大而减小，因此$L(\theta)$在$\theta = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$时取得最大值。
    结论：极大似然估计量为$\hat{\theta} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$。

无偏性判断

  1. 样本最大值的分布
    设$X_{(n)} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$，其概率密度函数为：
    $f_{X_{(n)}}(x) = \frac{n x^{n-1}}{\theta^n}, \quad 0 \leq x \leq \theta.$

  2. 计算期望
    $E(\hat{\theta}) = E(X_{(n)}) = \int_0^\theta x \cdot \frac{n x^{n-1}}{\theta^n} \, dx = \frac{n}{\theta^n} \int_0^\theta x^n \, dx = \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n+1}}{n+1} = \frac{n \theta}{n+1}.$

  3. 判断无偏性
    由于$E(\hat{\theta}) = \dfrac{n}{n+1} \theta \neq \theta$，故$\hat{\theta}$不是无偏估计量。