题目

25.设X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自总体Xsim N(mu,sigma^2)的一个样本，bar(X)为样本均值，μ已知，记S_(1)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-bar(X))^2，S_(2)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(X_(i)-bar(X))^2，则服从自由度为n-1的t分布统计量是（）.A.T=(bar(X)-mu)/(S_(1)/sqrt(n))B.T=(bar(X)-mu)/(S_(1)/sqrt(n))C.T=(bar(X)-mu)/(S_(2)/sqrt(n))D.T=(bar(X)-mu)/(S_(2)/sqrt(n-1))

25.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，$\bar{X}$为样本均值，μ已知，记$S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$，$S_{2}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$，则服从自由度为n-1的t分布统计量是（）. A.$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{1}/\sqrt{n}}$ B.$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{1}/\sqrt{n}}$ C.$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{2}/\sqrt{n}}$ D.$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{2}/\sqrt{n-1}}$

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 为样本均值。定义样本方差 $S_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 和 $S_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。
根据 $t$ 分布的定义，统计量 $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，其中 $S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。

  • 选项 A：$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{n}}$，其中 $S_1^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，符合 $t$ 分布定义。
  • 选项 B：与选项 A 相同，重复。
  • 选项 C：$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{n}}$，其中 $S_2^2$ 不符合自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
  • 选项 D：$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$，同样 $S_2^2$ 不符合自由度为 $n-1$ 的卡方分布。

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查的知识点是t分布的定义以及样本方差的性质。解题的关键在于明确t分布的统计量形式，以及判断所给样本方差是否服从自由度为$n - 1$的卡方分布。

1. 回顾t分布的定义

若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则统计量$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}$服从自由度为$n$的$t$分布。

对于来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$，样本均值$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，那么$Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。

2. 分析样本方差与卡方分布的关系

  • 已知$S_{1}^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$，根据数理统计的知识，$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_{i}-\bar{X}}{\sigma})^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)$。
  • 对于$S_{2}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$，$\frac{nS_{2}^{2}}{\sigma^{2}}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_{i}-\bar{X}}{\sigma})^{2}$，它并不服从自由度为$n - 1$的卡方分布。

3. 逐一分析选项

  • 选项A和B：
    已知$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$，且$\bar{X}$与$S_{1}^{2}$相互独立，那么$Z$与$\frac{(n - 1)S_{1}^{2}}{\sigma^{2}}$也相互独立。
    构造统计量$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{1}/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)S_{1}^{2}/\sigma^{2}}{n - 1}}}$，符合$t$分布的定义，所以该统计量服从自由度为$n - 1$的$t$分布。
  • 选项C：
    由于$S_{2}^{2}$不满足$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$的形式，所以$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{2}/\sqrt{n}}$不服从自由度为$n - 1$的$t$分布。
  • 选项D：
    同样因为$S_{2}^{2}$不满足$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$的形式，所以$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S_{2}/\sqrt{n - 1}}$也不服从自由度为$n - 1$的$t$分布。