函数y=[xf(x^2)]^2的导数是()。A. 2xf(x^2)f(x^2)+2x^2f'(x^2)B. f(x^2)[f(x^2)+2x^2f'(x^2)]C. 2xf(x^2)[f(x^2)+f'(x^2)]D. 2xf(x^2)[f(x^2)+2x^2f'(x^2)]

本题考查复合函数求导的知识。解题思路是先根据复合函数求导法则，设出中间变量，将原函数逐步分解，然后运用乘法法则和链式法则进行求导。

设$u = xf(x^2)$，则原函数$y = u^2$。

1. 先对$y = u^2$关于$u$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得：
   $y^\prime_{u}=2u$
2. 再对$u = xf(x^2)$关于$x$求导，根据乘法法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = f(x^2)$。
   • 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$u^\prime=(x)^\prime = 1$。
   • 对$v = f(x^2)$求导，设$t = x^2$，则$v = f(t)$，根据链式法则$v^\prime_{x}=v^\prime_{t}\cdot t^\prime_{x}$。
     • 对$t = x^2$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$t^\prime=(x^2)^\prime = 2x$。
     • 对$v = f(t)$关于$t$求导，可得$v^\prime_{t}=f^\prime(t)=f^\prime(x^2)$。
     • 所以$v^\prime_{x}=v^\prime_{t}\cdot t^\prime_{x}=f^\prime(x^2)\cdot 2x = 2xf^\prime(x^2)$。
   • 那么$u^\prime_{x}=(xf(x^2))^\prime=(x)^\prime f(x^2)+x\cdot 2xf^\prime(x^2)=f(x^2)+2x^2f^\prime(x^2)$。
3. 最后根据复合函数求导法则$y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$，将$y^\prime_{u}=2u$和$u^\prime_{x}=f(x^2)+2x^2f^\prime(x^2)$代入可得：
   $y^\prime_{x}=2u\cdot(f(x^2)+2x^2f^\prime(x^2))$
   把$u = xf(x^2)$代回上式得：
   $y^\prime_{x}=2xf(x^2)[f(x^2)+2x^2f^\prime(x^2)]$