设线性方程组 AX = b 的增广矩阵通过初等行变换化为 } 1 & 3 & 1 & 2 & 6 0 & -1 & 3 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）。A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查线性方程组解的结构，特别是自由未知量个数的确定方法。

解题核心思路：
自由未知量的个数由系数矩阵的秩决定，具体公式为 自由变量个数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩。
关键步骤包括：

1. 确定系数矩阵的秩：通过增广矩阵的行阶梯形，统计非零行的数量。
2. 计算自由变量个数：用未知数总数减去系数矩阵的秩。

破题关键点：

• 明确增广矩阵中系数部分的非零行数即为系数矩阵的秩。
• 注意区分系数矩阵与增广矩阵的秩对解的影响（本题仅需关注系数矩阵的秩）。

1. 确定系数矩阵的秩
   增广矩阵的系数部分（前四列）的行阶梯形为：
   $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
   非零行有 3 行，因此系数矩阵的秩 $r = 3$。

2. 计算自由变量个数
   未知数个数 $n = 4$（对应系数矩阵的列数），自由变量个数为：
   $n - r = 4 - 3 = 1$

3. 验证自由变量
   主元位于第1、2、4列，对应主变量为 $x_1, x_2, x_4$，唯一自由变量为 $x_3$，进一步确认自由变量个数为 1。