题目
已知Xsim N(0,1)，利用如下表格求以下概率值：Phi (a)=P(X lt a)a01234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224(1)P(X lt 0.28)；(2)P(X lt -0.36)；(3)P(0.18leqslant X lt 0.57).
已知$X\sim N\left(0,1\right)$，利用如下表格求以下概率值：
$(1)P\left(X \lt 0.28\right)$；
$(2)P\left(X \lt -0.36\right)$；
$(3)P\left(0.18\leqslant X \lt 0.57\right)$.
| $\Phi \left(a\right)=P\left(X \lt a\right)$ | ||||||||||
| $a$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| $0.0$ | $0.5000$ | $0.5040$ | $0.5080$ | $0.5120$ | $0.5160$ | $0.5199$ | $0.5239$ | $0.5279$ | $0.5319$ | $0.5359$ |
| $0.1$ | $0.5398$ | $0.5438$ | $0.5478$ | $0.5517$ | $0.5557$ | $0.5596$ | $0.5636$ | $0.5675$ | $0.5714$ | $0.5753$ |
| $0.2$ | $0.5793$ | $0.5832$ | $0.5871$ | $0.5910$ | $0.5948$ | $0.5987$ | $0.6026$ | $0.6064$ | $0.6103$ | $0.6141$ |
| $0.3$ | $0.6179$ | $0.6217$ | $0.6255$ | $0.6293$ | $0.6331$ | $0.6368$ | $0.6406$ | $0.6443$ | $0.6480$ | $0.6517$ |
| $0.4$ | $0.6554$ | $0.6591$ | $0.6628$ | $0.6664$ | $0.6700$ | $0.6736$ | $0.6772$ | $0.6808$ | $0.6844$ | $0.6879$ |
| $0.5$ | $0.6915$ | $0.6950$ | $0.6985$ | $0.7019$ | $0.7054$ | $0.7088$ | $0.7123$ | $0.7157$ | $0.7190$ | $0.7224$ |
$(2)P\left(X \lt -0.36\right)$；
$(3)P\left(0.18\leqslant X \lt 0.57\right)$.
题目解答
答案
$\left(1\right)P\left(X \lt 0.28\right)=\Phi \left(0.28\right)=0.6103$；
$(2)$因为$P\left(X \lt -0.36\right)=\Phi \left(-0.36\right)$，而$\Phi \left(-0.36\right)+\Phi \left(0.36\right)=1$，
且由上表可知$\Phi \left(0.36\right)=0.6406$，所以$\Phi \left(-0.36\right)=1-\Phi \left(0.36\right)=1-0.6406=0.3594$，
$(3)$由概率的加法公式以及上表可知$P\left(0.18\leqslant X\leqslant 0.57\right)=P\left(X \lt 0.57\right)-P\left(X \lt 0.18\right)=\Phi \left(0.57\right)-\Phi \left(0.18\right)=0.7157-0.5714=0.1443$.
$(2)$因为$P\left(X \lt -0.36\right)=\Phi \left(-0.36\right)$，而$\Phi \left(-0.36\right)+\Phi \left(0.36\right)=1$，
且由上表可知$\Phi \left(0.36\right)=0.6406$，所以$\Phi \left(-0.36\right)=1-\Phi \left(0.36\right)=1-0.6406=0.3594$，
$(3)$由概率的加法公式以及上表可知$P\left(0.18\leqslant X\leqslant 0.57\right)=P\left(X \lt 0.57\right)-P\left(X \lt 0.18\right)=\Phi \left(0.57\right)-\Phi \left(0.18\right)=0.7157-0.5714=0.1443$.
解析
考查要点：本题主要考查标准正态分布（$X \sim N(0,1)$）的概率计算，涉及利用标准正态分布函数表（$\Phi(a)$）直接查表、对称性性质以及概率的加法公式。
解题核心思路：
- 直接查表：对于形如$P(X < a)$的概率，直接通过$\Phi(a)$表格查找对应值。
- 对称性处理：对于负数$a$，利用$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$简化计算。
- 区间概率拆分：将区间概率$P(a \leq X < b)$拆分为$P(X < b) - P(X < a)$，再分别查表计算。
破题关键点：
- 表格的正确使用：明确表格行对应$a$的小数点后第一位，列对应小数点后第二位。
- 负数概率的转化：通过标准正态分布的对称性，将负数转化为正数查表。
- 区间概率的分解：通过概率的可加性，将复杂区间拆分为两个单侧概率之差。
(1) $P(X < 0.28)$
查找$\Phi(0.28)$
- 行定位：$a=0.28$的小数点后第一位是$0.2$，对应表格中0.2行。
- 列定位：小数点后第二位是$8$，对应第8列。
- 查表结果：$\Phi(0.28) = 0.6103$。
(2) $P(X < -0.36)$
利用对称性转化
- 对称性公式：$\Phi(-0.36) = 1 - \Phi(0.36)$。
- 查找$\Phi(0.36)$：
- 行定位：$a=0.36$的小数点后第一位是$0.3$，对应0.3行。
- 列定位：小数点后第二位是$6$，对应第6列。
- 查表结果：$\Phi(0.36) = 0.6406$。
- 计算负数概率：$\Phi(-0.36) = 1 - 0.6406 = 0.3594$。
(3) $P(0.18 \leq X < 0.57)$
拆分区间概率
- 公式拆分：$P(0.18 \leq X < 0.57) = P(X < 0.57) - P(X < 0.18)$。
- 查找$\Phi(0.57)$：
- 行定位：$a=0.57$的小数点后第一位是$0.5$，对应0.5行。
- 列定位：小数点后第二位是$7$，对应第7列。
- 查表结果：$\Phi(0.57) = 0.7157$。
- 查找$\Phi(0.18)$：
- 行定位：$a=0.18$的小数点后第一位是$0.1$，对应0.1行。
- 列定位：小数点后第二位是$8$，对应第8列。
- 查表结果：$\Phi(0.18) = 0.5714$。
- 计算差值：$0.7157 - 0.5714 = 0.1443$。